¿Cuál es el límite superior no asintótico para el vector propio principal de la matriz aleatoria?

Question

Arreglar una matriz aleatoria gaussiana $A$ con $E[A_{ij}]=0$ para $i, j=1,\dots n$ y $E[A_{ij}^2]=\frac{1}{n}$. Deje que $v_1$ sea el vector propio principal de $A$. ¿Cuál es el límite superior no asintótico para $v_1$, es decir, algo como $$ P(v_1\cdot u\ge t)\le e^{-\alpha t} $$ donde $u$ está distribuido uniformemente en la esfera unitaria.

¿Hay alguna referencia para esta probabilidad de cola? ¡Gracias!

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Sea $\{v_1,v_2,\dots, v_n\}$ los autovectores correspondientes a los autovalores $\lambda_1,\dots, \lambda_n$ de una matriz $A$ de GOE. Cada uno de los autovectores $v_1,\dots, v_n$ está distribuido uniformemente en \begin{equation} S_+^{n-1}:=\{x=(x_1,\dots, x_n): x_i\in R, \|x\|_2=1, x_1>0\}. \end{equation}

Answer 1

Conocemos la distribución de $x=v_1\cdot u$, con $v_1$ de longitud $n$ distribuido uniformemente en la $n$-esfera unitaria y $u$ un vector unitario arbitrario. Esta distribución está dada por $$P(x)=\frac{\Gamma(n/2)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma(n/2-1/2)}(1-x^2)^{n/2-3/2}\,\theta(1-x^2),\;\;n>1,$$ con $\theta(x)$ la función de paso unitario. (Aquí hay una derivación.) Así que para $n\gg 1$ esto se convierte en una Gaussiana, $P(x)\propto e^{-nx^2/2}$, con media cero y varianza $1/n$.

Gráfica de $P(x)$ para $n=2,3,5,10,20$ (mayores $n$ dan una distribución más pronunciada).