¿Existe $\int_1^\infty \frac{\log x}{x^{3}} \sin x \,dx$?

Question

Quiero determinar si la siguiente integral indefinida existe:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{\log x}{x^{3}} \sin x dx.$$

Intenté resolver la integral y luego calcular el límite

$$ \lim_{\lambda \to \infty} ( \int_{1}^{\lambda} \frac{\log x}{x^{3}} \sin x dx ) $$

pero no pude encontrar una manera fácil de resolver la integral $\int \frac{\log x}{x^{3}} \sin x dx$ para calcular su límite.

Answer 1

Dado que $$|\sin x|\le1$$ y $$\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$$ entonces para $x$ suficientemente grande

$$\left|\frac{\log x}{x^3}\sin x\right|\le \frac{\log x}{x^3}=_\infty o\left(\frac1{x^2}\right)$$ por lo tanto, la integral dada es convergente por comparación.

Answer 2

Elija $x_0 \gg 1$ tal que $|\log x| \leq x$ para $x > x_0$, y divida $\int_1^\infty = \int_1^{x_0}+\int_{x_0}^\infty$. La primera es una integral ordinaria de Riemann; para la segunda, observe que $$ \left| \frac{\log x}{x^3} \sin x \right| \leq \frac{|\sin x|}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}, $$ lo cual es integrable en $(x_0,+\infty)$.

Answer 3

Esto es solo por tu curiosidad ya que ya recibiste buenas respuestas de otros participantes.

Sorprendentemente (por lo menos para mí) o no, la antiderivada tiene una forma cerrada (no es una pesadilla pero casi; así que no la daré aquí).

Con respecto a la integral de $1$ a $\infty$, su valor está dado por $$\, _2F_3\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2};\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2};-\frac{1} {4}\right)+\frac{1}{8} (2 \gamma -3) \pi \simeq0.1094982566845155420432374$$

Answer 4

Puedes usar la prueba de comparación directa que establece que dado 2 funciones $f(x)$ y $g(x)$ que son continuas en $[a, \infty)$, si:

$$ 0 < f(x) < g(x), \; \forall x \in [a, \infty) $$

Entonces

$$ \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx \quad \text{converge si} \quad \int_{a}^{\infty} g(x)\,dx \quad \text{converge} $$

En este caso, nota que en $[1, \infty)$, $\sin x \leq 1$ y $\ln x < x$, entonces:

$$ \frac{\ln x \sin x}{x^3} < \frac{1}{x^2}, \; \forall x \in [1, \infty) $$

Y:

$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx \quad \text{converge}$$

Por lo tanto, la integral original converge