Líneas que cortan un objeto 2D en partes iguales, del video de Zach Star

Question

En este interesante video de Zach Star https://www.youtube.com/watch?v=IJumRmwYsN4, él falsifica lo siguiente:

Reclamo falso cada forma 2D (abierto conectado) tiene un punto con la propiedad de que cada línea que lo atraviesa divide la forma en dos partes de igual área.

Como muestra el video, la afirmación ya es falsa para el triángulo equilátero.

En este punto surgen naturalmente algunas preguntas.

1. ¿Cuáles son las formas con esta propiedad de punto de corte? Una clase obvia es la de las formas con una simetría central, ¿pero existen otras?
2. Para cada punto en el plano existe una línea que lo atraviesa y corta el objeto por la mitad, pero para algunos puntos en el interior existen múltiples líneas. ¿Podemos caracterizar este conjunto de puntos?

Answer 1

Sea $d(\theta)$ la diferencia en áreas de los dos lados de la línea.

Si describes la forma en coordenadas polares, con el límite definido por alguna función $r(\theta)$, entonces $d'(\theta) = \left|\frac{r(\theta)-r(\theta+\pi)}2\right|$. Así que la forma debe tener la propiedad de que $\forall \theta: r(\theta)=r(\theta +\pi)$. Por lo tanto, la propiedad del "punto de corte" es equivalente a ser simétrico respecto al polo.