Resolviendo la EDP $v_x + v_y = 1$

Question

Tengo $v_x + v_y = 1$.

Es obvio que $v(x,y) = \frac{1}{2}(x+y)$ funciona como una solución, pero necesito encontrar una solución general a esta EDP. ¿Qué puedo hacer?

He intentado hacer una sustitución, sin éxito. Quizás esté pensando demasiado en este problema y haya alguna solución realmente simple para una EDP no homogénea como esta que mi libro no discute. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esa es una ecuación de transporte no homogénea. Necesitas usar el método de las características para resolverla. Básicamente, este método busca curvas a lo largo de las cuales la EDP se convierte en una ecuación diferencial ordinaria.

Supongamos que tu solución es de la forma $v(x,y)=v(x,Y(x))=V(x)$, donde $Y$ es una curva característica de la solución. Entonces, $$\frac{d}{dx}V(x)=v_x(x,Y(x))+v_y(x,Y(x))\ Y'(x).$$ Por lo tanto, si eliges $Y$ de tal manera que $Y'(x)=1$, obtienes que $$\frac{d}{dx}V(x)=v_x(x,Y(x))+v_y(x,Y(x)) = 1.$$ Y esa es una ecuación diferencial mucho más fácil de resolver.

Por lo tanto, solo necesitas seguir tres pasos:

1. Encuentra la característica resolviendo $Y'(X)=1$ con la condición final $Y(x)=y$.

2. Determinar la solución a lo largo de una característica resolviendo $V'(X)=1$ con la condición inicial $V(0)=V(0,Y(0))=0$ (o cualquier otra condición inicial que puedas tener).

3. Encuentra la solución en el punto final de la característica, $v(x,y)=V(x)$, que es la solución de la EDP en $(x,y)$.

Puedes encontrar muchas notas sobre este tema buscando en Google. Por ejemplo, verifica aquí.

Answer 2

Ten en cuenta que la forma de Lagrange $P(x,y,v)p+Q(x,y,v)q=R(x,y,v)$ para la cual las ecuaciones subsidiarias son

$$\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dv}{R}$$

En tu caso, $P=Q=R=1$, por lo que es fácil obtener $v-x=c_1$ y $y-x=c_2$ donde $c_1$ y $c_2$ son constantes de integración. Combinando estos dos, obtienes $v-x=f(y-x)$ o $v=f(y-x)+x$ como la solución general para una función arbitraria $f$.