¿Por qué el orden no importa? Parcial D

Question

Al tomar derivadas parciales, ¿por qué el orden no importa siempre y cuando la función sea continua?

¿Hay alguna prueba, intuitiva o rigurosa?

Answer 1

Sea $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ una función con segundas derivadas continuas en un abierto $U\subset\mathbb{R}^2$. Fijemos $y_0$ y $y_1$, y sea $$g(x):=\int_{y_0}^{y_1}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy=f(x,y_1)-f(x,y_0).$$ Por la hipótesis, $\partial f/\partial y$ es continuamente diferenciable, por lo tanto, podemos diferenciar dentro de la integral y obtener $$\frac{dg}{dx}=\int_{y_0}^{y_1}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)dy,$$ o bien $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_0)=\int_{y_0}^{y_1}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)dy.$$ Fijemos $x$ y $y_0$, y diferenciemos con respecto a $y_1$ para obtener $$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y_1)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y_1).$$ Nótese que, de hecho, para esta demostración es suficiente asumir la continuidad de $\partial^2f/\partial x\partial y$, y la existencia de $\partial f/\partial y$. Para empezar, ni siquiera es necesario saber que $\partial^2f/\partial y\partial x$ existe.