Evaluar una serie con coeficientes binomiales

Question

Si $$y=\frac{3}{5}+\frac{1\cdot 3}{2!}(\frac{2}{5})^2+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!}(\frac{2}{5})^3+\dots$$ Entonces encuentra el valor de $y^2+2y$.

Mi enfoque es el siguiente $$y-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}+\frac{1\cdot 3}{2!}(\frac{2}{5})^2+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!}(\frac{2}{5})^3+\dots$$

Sea $x=\frac{2}{5}$, $Y=y-\frac{1}{5}$. Entonces $$Y=x+\frac{1\cdot 3}{2!}(x)^2+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!}(x)^3+\dots$$ No puedo continuar desde aquí.

Answer 1

Pista. Recuerda la definición de factorial doble, $$1\cdot 3\cdots (2k-1)=\frac{k!}{2^k}\binom{2k}{k}.$$ Por lo tanto $$Y=x+\frac{1\cdot 3}{2!}(x)^2+\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{3!}(x)^3+\dots= \sum_{k=1}^{\infty}\binom{2k}{k}(x/2)^k.$$ Ahora echa un vistazo a Cómo mostrar que $1 \over \sqrt{1 - 4x} $ genera $\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}x^n $.