Cualquier secuencia de Cauchy en el espacio métrico $(\Bbb N, d)$ converge o es finalmente constante.

Question

Dado un espacio métrico $(\Bbb N,d)$ donde $d(x,y)= |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|.

Necesito demostrar que para cualquier sucesión de Cauchy $(n_j)_{j \in \Bbb N}$ en este espacio métrico, o bien satisface la propiedad de que a medida que $j \rightarrow \infty$, $n_j \rightarrow \infty$ o es finalmente constante.

Aquí está la definición de sucesión de Cauchy:

Sea $(x_n)^ {n=1} X$ donde $(X, d)$ es un espacio métrico. Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un entero $N$ tal que para $m, n N$, $d(x_m, x_n) < \varepsilon$.

Si la sucesión de Cauchy satisface la propiedad de que a medida que $j \rightarrow \infty$, $n_j \rightarrow \infty$, entonces hemos terminado. Necesito mostrar que cualquier sucesión de Cauchy que no satisfaga la propiedad debe ser finalmente constante.

Answer 1

Tu espacio es isométrico al conjunto $$S = \{1/n\,\vert\,n\in\Bbb N\}\subset\Bbb R$$ con la distancia habitual. Sea $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ una sucesión de Cauchy en este espacio. Si la secuencia toma un número finito de valores, eventualmente es constante. Si la secuencia toma un número infinito de valores, $0$ es un punto de acumulación de ella y existe una subsucesión convergente $(x_{n_k})_{k\in\Bbb N}\to 0$, pero como $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ es una sucesión de Cauchy, converge al mismo límite. Ahora, puedes traducir esto a tu espacio usando la isometría.

Answer 2

Este será un argumento informal, por lo que puedes usarlo para construir una prueba.

¿Qué significa que $n_j \to \infty$ cuando $j \to \infty?

Esto significa que, dado cualquier número positivo $\varepsilon$, hay una cola de la secuencia por encima de $\varepsilon$. En otras palabras, hay, a lo sumo, un número finito de elementos de la secuencia por debajo de $\varepsilon$.

¿Cuál es la negación de esto?

Bueno, esto significa que hay un número positivo particular $\varepsilon_*$ tal que, a lo sumo, un número finito de elementos de la secuencia son mayores que $\varepsilon_*$. Por lo tanto, la secuencia está acotada superiormente (no necesariamente por $\varepsilon_*$, ¿puedes ver esto?). Pero esta es una secuencia de números naturales, por lo tanto, acotada inferiormente por $0,$ así que tenemos una secuencia acotada de números naturales.

¿Qué podemos deducir de esto?

Bueno, una secuencia acotada de números naturales significa que solo hay un número finito de valores posibles que los elementos de la secuencia pueden tomar, digamos $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_m \} \subset \mathbb{N}.$

Sea $$W = \Big\{|\frac{1}{v_i} - \frac{1}{v_j}| : v_i,v_j \in V, v_i \neq v_j \Big\},$$

el conjunto de distancias entre elementos de la secuencia con valores distintos. Dado que solo hay un número finito de elementos en $V$, el conjunto $W$ también es finito, así que toma el mínimo de estas diferencias, $w_* = \min W.$

¿Qué hacer con esto? La hipótesis de Cauchy

Ahora, sea $\epsilon > 0$ tal que $\epsilon < w_*$. Dado que $(n_j)_{j \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy, hay una cola de la secuencia tal que, tomando cualquier par de elementos de la cola, su distancia es menor (o igual) a $\varepsilon$, que es menor que $w_*.$

Ahora la idea final

Supongamos que $n_i, n_j$ están en la cola dada por la suposición de Cauchy, ¿podría $n_i \neq n_j?$

Editar:

$$n_j \to \infty \iff \forall \varepsilon \, \exists N : j\geq N \implies n_j > \varepsilon$$

así que, la negación sería

$$n_j \not \to\infty \iff \exists \varepsilon \, \forall N :j\geq N \, \land n_j \leq \varepsilon. $$

Nota que la declaración después de $:$ es una declaración de la forma $p \to q$ que es verdadera si $ \, \lnot (p \land \lnot q$), por lo que al negarlo obtienes $p \land \lnot q.

¡Espero que esto ayude :)

Answer 3

Si $x_n$ está acotado, existe $M\in\mathbb N$ tal que, para todo $n$, $x_nN$, $\vert x_n-x_m\vert=0$". Supongamos que $\{x_n\}$ no es "en última instancia constante", entonces, para todo $N'$ existen $m',n'>N'$ tal que $\vert x_{n'}-x_{m'}\vert\gt 0$.

$$d(x_{n'},x_{m'})= \left|\frac{1}{x_{n'}}-\frac{1}{x_{m'}}\right|= \frac{\vert x_{m'}-x_{n'}\vert}{x_{n'}x_{m'}}\ge\frac{1}{x_{n'}x_{m'}}\gt\left|\frac{1}{M^2}\right|=\epsilon$$

Entonces, la sucesión no puede ser una sucesión de Cauchy. Las sucesiones "en última instancia constantes" son obviamente sucesiones de Cauchy y queda demostrado.

Answer 4

Ten en cuenta que si $n_j$ es una secuencia de Cauchy en ese espacio, $1/n_j$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb R$. Esto significa que $1/n_j$ converge.

Dado que $n_j> 0$, tenemos que o bien $1/n_j\to 0$, en cuyo caso $n_j\to \infty$, o $1/n_j\to L>0$, lo que significa que $n_j\to 1/L$ (también debido a que $n_j$ es un entero, esto significa que $n_j=1/L$ en última instancia).