Ayuda para entender una prueba breve para demostrar $\mathbb{Z}[X]/(X^2 - 3) \cong \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$

Question

Recientemente me pidieron que demostrara que $\mathbb{Z}[X]/(X^2 - 3) \cong \mathbb{Z}[\sqrt{3}] := \{a + \sqrt{3}b\ | a,b \in \mathbb{Z}\}$. No pude hacerlo en un tiempo limitado, así que recibí un bosquejo de la prueba, pero no estoy seguro de entender cada paso. Aquí están:

Primero consideramos el mapeo $\phi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ que envía $a$ a $a +0 \sqrt{3}$ y $X$ a $\sqrt{3}$. Entonces sabemos por las propiedades universales de los anillos polinomiales que $\phi$ es un morfismo de anillos, y es el único tal que el siguiente diagrama conmuta:

$\mathbb{Z} \overset{\phi}{\to} \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ ; $\mathbb{Z} \overset{(*)}{\to} \mathbb{Z}[X]$ y $\mathbb{Z}[X] \overset{\xi}{\to} \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$

Luego, de la misma manera, de acuerdo con la propiedad universal de los cocientes, podemos construir un mapeo, digamos $\psi$, de forma que el siguiente diagrama conmute:

$\mathbb{Z}[X] \overset{\xi}{\to} \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ ; $\mathbb{Z}[X] \overset{\pi}{\to} \mathbb{Z}[X]/\ker(\xi)$ y $\mathbb{Z}[X]/\ker(\xi) \overset{\psi}{\to} \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ donde $\pi$ se refiere a la proyección canónica.

Aparentemente, todo lo que quedaba por demostrar era que $(X^2 - 3) \subseteq \ker(\xi)$ y $im(\xi) = \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Los puntos principales que no entendí en esta demostración fueron:

• la definición de nuestro primer mapeo $\phi$, es decir, ¿por qué enviamos $a$ a $a + 0\sqrt{3}$?
• ¿a qué mapeo corresponde (*)?
• cómo demostrar que $(X^2 - 3) \subseteq \ker(\xi)$: consideraría $P \in (X^2 - 3)$ e intentaría demostrar que también pertenece a $\ker(\xi)$, sin embargo, tal $P$ sería de la forma $Q(X^2 - 3)$ con $Q \in \mathbb{Z}$, pero realmente no llego a ninguna parte.
• ¿por qué necesitamos mostrar que $im(\xi) = \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$: de hecho, esto significa que necesitamos que $\xi$ sea sobreyectivo y no veo por qué es necesario (y tampoco descubrí cómo demostrarlo)

Creo que lo que pido no es demasiado difícil, pero realmente me ayudaría entender cada paso de esta demostración para poder hacerla yo mismo de nuevo.

Si olvidé mencionar algo útil para una buena comprensión de este mensaje, no dudes en decírmelo.

Y por cierto, si quieres darme isomorfismos de anillos similares para que pueda acostumbrarme a esas propiedades universales, ¡no dudes en hacerlo!

Gracias de antemano

Answer 1

Saliendo de las tecnicidades de tu prueba, aquí hay un importante pero de intuición sobre cocientes de anillos de polinomios:

El anillo $R[X]$ es un anillo que contiene $R$ y un elemento adicional $X$ que cumple ninguna relación algebraica excepto aquellas que son requeridas por los axiomas del anillo (por ejemplo, $X(X+1)=X^2+X$ por la propiedad distributiva, pero $X^2=1$ no es verdad, porque ningún axioma lleva a que el cuadrado de un elemento arbitrario del anillo sea $1$).

El cociente $R/I$ de un anillo es un anillo con todas las características del anillo $R$, pero con la restricción adicional de que todos los elementos de $I$ son reemplazados por $0$, y cuando un cálculo resultaría en un elemento de $I$, resulta en $0$ en su lugar.

Ahora el anillo cociente $R[X]/(f)$ con cualquier polinomio $f$ significa que primero añadimos un elemento $X$ que no sigue reglas excepto los axiomas del anillo. Y después forzamos que todos los elementos de $(f)$, es decir, todos los múltiplos de $f(X)$, sean $0$. En otras palabras, forzamos que $f(X)$ sea $0$. Así que en total, tal cociente de un anillo de polinomios significa añadir un elemento $X$ que es una raíz de $f$. Pero luego es claro que $\mathbb Z[X]/(X^2-3)$ es simplemente $\mathbb Z$ con una raíz de $X^2-3$ añadida. $\sqrt 3$ es tal raíz. Así que no es sorpresa que este anillo sea isomorfo a $\mathbb Z[\sqrt 3]$.

Tu prueba es simplemente una forma técnica de expresar esta idea. Como la propiedad universal de los anillos de polinomios: básicamente está diciendo que añadir un elemento a $R$ (resultando en una extensión del anillo) puede ser expresado como un cociente del anillo de polinomios.

Answer 2

• $\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ no envía $X$ a $\sqrt{3}$. No hay ningún $X$ que enviar. Es simplemente la inclusión, viendo un entero como un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ donde el coeficiente de $\sqrt{3}$ es $0$. Es $\xi: \mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ el que envía $X\mapsto \sqrt{3}$.
• $(*):\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[X]$ es el mapa análogo para polinomios. Te permite ver un entero como un polinomio constante.
• De hecho, creo que esta es la dirección más fácil. Si $P\in (X^2-3)$ entonces $P(X)=Q(X)(X^2-3)$ donde $Q(X)\in \mathbb{Z}[X]$. Luego simplemente sustituye $X=\sqrt{3}$ para ver que $P(\sqrt{3})=0$ y por lo tanto $P(X)\in\ker(\xi)$. Deberías intentar la otra inclusión.
• Podrías en cambio mostrar que $im(\psi)=\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, pero $im(\xi)=im(\psi)$ y $\xi$ probablemente es un mapa más simple (no se necesitan clases de equivalencia) así que ¿por qué no trabajar con él? De una forma u otra, si vas a usar el teorema de isomorfismo que dice $$R/\ker(\phi)\cong im(\phi)$$ para terminar la demostración entonces tendrás que mostrar que la imagen del mapa es el espacio que deseas en el lado derecho del $\cong$.

Algunas notas adicionales

• Creo que quieres $\pi:\mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}[X]/\ker(\xi)$ y no al revés.
• La propiedad universal de los anillos de polinomios suena elegante, pero realmente solo dice que si quieres definir un homomorfismo de un anillo de polinomios a otro anillo solo necesitas 1) definir un homomorfismo de los coeficientes 2) dar valores a las variables.