Obteniendo el límite de la integral de $cos^{2n}(\pi f(x))$ con n→∞

Question

Sea f una función medible en [0, ) y tal que f(x) pertenece a los números enteros si y solo si x pertenece a [0, 1]

Evaluemos

$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^\infty cos^{2n}(\pi f(x))dx$$

¿Alguien sabe cómo debo manejar la parte f(x) para resolver su límite? (Y por dónde empezar)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_{0}^\infty \cos^{2n}(\pi f(x))dx &= \lim_{n\to\infty} \left(\int_0^1 \cos^{2n}(\pi f(x))dx + \int_{1}^\infty \cos^{2n}(\pi f(x))dx \right) \\ &= \lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 1dx + \int_1^\infty\cos^{2n}(\pi f(x))dx\right) \\ &= 1 + \lim_{n\to\infty}\int_1^\infty\cos^{2n}(\pi f(x))dx \\ &\overset*= 1 + \int_1^\infty \lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(\pi f(x))dx \\ &= 1\end{align}$$ donde $(*)$ es según el lema de Beppo Levi.