Prueba sobre espacios conectados

Question

Sea $p$ un punto de corte de un espacio conectado $X$ y supongamos que $A$ y $B$ forman una separación de $X-\{p\}$. Demuestra que $A \cup \{p\}$ es conexo.

Yo solo hice esto: Dado que $p$ es un punto de corte entonces $X-\{ p \}$ no está conectado, y dado que $A$ y $B$ forman una separación de $X- \{p \}$ entonces $X-\{p \} = A \cup B$, y además $A \cup B$ no está conectado.

Answer 1

Aquí hay algunas pistas. Primero, demuestra que para cualquier subconjunto conectado $C \subset X$, su cierre también es conectado. Luego muestra que $A \cup \{p\}$ es el cierre de $A$. Para hacerlo, considera si $A,B$ son abiertos, cerrados, ninguno o ambos.

Answer 2

Supongamos que $A\cup \{p\}=C\cup D$ es una separación de $A\cup \{p\}$. Verifica que $X=(C\cup D) \cup B$ y que esto da una separación de $X$. [$C \cup D$ y $B$ son conjuntos abiertos disjuntos y no vacíos en $X$. Estoy asumiendo que $\{p\}$ es cerrado, lo cual es cierto si $X$ es Hausdorff].