Así que sé que la función característica de los racionales no es integrable de Riemann y podemos demostrar esto mostrando que las sumas superiores e inferiores son diferentes.
Pero tengo un teorema en mis notas que establece (que no hemos demostrado) que una función, $f$, es integrable de Riemann si y solo si el conjunto de todos los puntos donde $f$ no es continua es un conjunto de medida cero.
Entonces me preguntaba si el siguiente razonamiento está bien:
Sabemos que $[0,1]$ tiene medida $1$ y el conjunto $\mathbb{Q}$ es un conjunto de medida cero. Entonces debe ser el caso que $[0,1] - \mathbb{Q}_{[0,1]}$ es de medida $1$, por lo que $f$ no es integrable de Riemann.
(Sé que esta pregunta no está muy bien fundamentada, pero tengo este teorema y puedo usarlo en mi examen como una forma rápida de demostrar que una función no es integrable de Riemann, estaría más que feliz de recibir más información sin embargo).
Gracias por cualquier ayuda
