Prueba que $B(-1,r)\cap (-1,1)$ es no vacío para todo $r>0$

Question

La pregunta es, ¿cómo demostrar matemáticamente que $B(-1,r)\cap (-1,1)$ es no vacío para todo $r>0$? Aquí, $B(-1,r)$ es la bola alrededor de $-1$ dentro de $\mathbb{R}$. De manera intuitiva, es claro, ya que hay un intervalo $[-1,r)$ dentro de $B(-1,r)$ que contendrá un elemento de $(-1,1)$. Pero ¿está garantizado esto cuando $r$ es increíblemente pequeño (cerca de $0$)? No logro escribir la prueba correctamente.

Aquí hay un ejemplo de lo que pensé. Supongamos por el contrario que $B(-1,r)\cap (-1,1)$ es vacío para algún $r>0$. ¿Debería elegir un elemento $y\in (-1,1)$ para demostrar que $y$ está de hecho en $B(-1,r)$ y así llegar a una contradicción? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Pista: toma un punto que dependa de $r$: por ejemplo $\frac{-1+r}{2}$ (si $r< 3$, de lo contrario toma el punto $0$ por ejemplo).

Answer 2

Puedes simplemente encontrar la intersección y confirmar que no está vacía: dado que $B(-1, r) = (-1-r, -1+r)$, tienes

$$B(-1, r) \cap (-1, 1) = (-1-r, -1+r) \cap (-1, 1) = (-1, \min\{-1+r, 1\})$$

Esto claramente no está vacío siempre que $-1<-1+r$, lo cual es cierto si $r>0$.