En cada conjunto de 100 enteros, existen dos cuya diferencia es un múltiplo de 37.

Question

¿Podría alguien explicar cómo demostrar esto? Hay 4950 formas en las que se puede tomar una diferencia entre dos enteros del conjunto. No logro entender cómo relacionarlo con un múltiplo de 37.

Answer 1

Para cada entero en el conjunto, tome el resto de la división por 37: solo hay 37 resultados diferentes posibles. Sean $a$ y $b$ dos enteros del conjunto que tienen el mismo resto, es decir:

$$ \begin{align*} a &= r + 37h,\\ b &= r + 37k. \end{align*} $$

Ahora considere la diferencia $a - b = 37(h-k)$: es un múltiplo de 37.