Demostrando la desigualdad inversa del triángulo de los números complejos

Question

Tengo problemas para entender esta prueba para la desigualdad inversa del triángulo de los números complejos.

Supongamos que para cualquier $z, w \in \mathbb{C}$, tenemos $|z + w| \leq |z| + |w|$ (la desigualdad del triángulo).

Demuestra $|\,|z| - |w|\,| \leq |z - w|$.

Para probar esto, sabemos que $|z + w| \leq |z| + |w|$. Luego, al dejar $v = z + w$, obtenemos $z = v - w$, y así obtenemos la desigualdad $|v| \leq |v - w| + |w|$, o equivalentemente, $|v| - |w| \leq |v - w|$.

Genial, ahora tenemos $|v| - |w| \leq |v - w|$. Por alguna razón, esto implica que $|w| - |v| \leq |w - v|$, y luego esto claramente implica $|\,|w| - |v|\,| \leq |w - v|$.

Dos preguntas:

1. Probamos que dados $z, w$ arbitrarios en $\mathbb{C}$, si $v = z + w$, entonces $|v| - |w| \leq |v - w|$. ¿Por qué esto implica que podemos decir $|w| - |v| \leq |w - v|$?

2. Solo probamos la desigualdad para $v$ de la forma $z + w$. ¿Cómo se extiende mágicamente para que se cumpla para todos los números complejos?

Tengo la sensación de que alguien responderá a la pregunta 2 con "cualquier vector arbitrario en $\mathbb{C}$ se puede expresar como $z + w$ ya que $z$, $w$ eran arbitrarios" o algo por el estilo. Si esto es cierto, por favor, explique más detalladamente.

Answer 1

Tú sabes que $|x| \le |x-y|+|y|$ y así $|x|-|y| \le |x-y|$. El mismo argumento con $x,y$ intercambiados nos da $|y|-|x| \le |y-x| = |x-y|$. Por lo tanto $||x|-|y|| \le |x-y|$.

Esto es cierto para cualquier norma, no solo para el módulo. El elemento esencial aquí es la desigualdad del triángulo.