La conjetura es cierta y se mantiene, en una versión generalizada, siempre que $K$ sea un subgrupo regular abeliano. De hecho, mediante el Teorema 1.9(d) en O. Tamaschke, Zur Theorie der Permutationsgruppen mit regulärer Untergruppe. I, Math. Zeit. (1963) 80 328–354, hay un resultado aún más general que se cumple cuando $K$ no es necesariamente abeliano. Un caso especial de este teorema es que $\langle \mathbb{1}_K, \phi_1, \ldots, \phi_\ell \rangle_\mathbb{C}$ tiene la estructura de un anillo central unitario $S$. En particular, está cerrado bajo el producto natural.
A continuación daré una demostración en el caso cíclico, utilizando algunas ideas de Wolfgang Knapp On Burnside's Method, J. Alg. (1995) 175 644–660. En resumen, lo que mostramos es que $\langle \mathbb{1}_K, \phi_1, \ldots, \phi_\ell \rangle$ bajo multiplicación es isomorfo al anillo de Schur para $G$ respecto al producto que envía dos subconjuntos invariantes de $H$ a su intersección.
Configuración. Sea $\zeta \in \mathbb{C}$ una raíz primitiva de $d$. Para $j \in \{0,\ldots, d-1\}$ sea
$$v_j = \sum_{i=0}^{d-1} \zeta^{-ij} k^i \in \mathbb{C}K.$$
Los $v_j/d$ son los idempotentes primitivos ortogonales en el álgebra de grupo conmutativa $\mathbb{C}K$. Dado que $v_j k = \zeta^j v_j$, el subespacio $\langle v_j \rangle$ proporciona el carácter $\theta^j$. Sea $\odot$ el producto en $\mathbb{C}K$ definido al multiplicar los coeficientes de cada $k^j$: así que si $d=3$ entonces
$$(a_0+a_1k+a_2k^2) \odot(b_0+b_1k+b_2k^2) = a_0b_0 + a_1b_1 k + a_2b_2k^2.$$
Sea $\mathcal{C}(K)$ el anillo de caracteres de $K$. Considere el mapa lineal $\mathcal{C}(K) \rightarrow \mathbb{C}K$
$$\chi \mapsto \sum_{i=0}^{d-1} \overline{\chi(k^j)}k^j.$$
Dado que la imagen de $\theta^j$ es $v_j$, este mapa es un isomorfismo lineal. Observamos que
$$v_j \odot v_{j'} = v_{j + j' \,\mathrm{mod}\; d}.$$
Por lo tanto, $\mathcal{C}(K)$, con su producto habitual, correspondiente al producto tensorial de módulos, es isomorfo a $(\mathbb{C}K, \odot)$.
Prueba de la conjetura. Deje que $G$ actúe sobre $\{0,1,\ldots,d-1\}$. Deje que $H \le G$ sea el estabilizador del punto $0$. Deje que $\mathcal{O}_0, \mathcal{O}_1, \ldots, \mathcal{O}_\ell$ sean las órbitas de $H$ en $\{0,1,\ldots,d-1\}$, ordenadas de modo que $\mathcal{O}_0 = \{0\}$. (Nótese que el número de órbitas es la graduación de la acción de $G$, que es el número de componentes irreducibles de $\pi$, es decir, $\ell+1$.) Identifique el $G$-conjunto $\{0,1,\ldots,d-1\}$ con el subgrupo regular $K$ mediante $j \mapsto k^j$. Entonces las sumas de órbitas son
$$e_m = \sum_{j \in \mathcal{O}_m} k^j \in \mathbb{C}K$$
para $m \in \{0,1,\ldots,\ell\}$. Por definición $S = \langle e_0, e_1, \ldots, e_\ell \rangle_\mathbb{C}$ es el anillo de Schur para $G$. Los $e_m$ son los 'elementos primitivos' de Schur y son idempotentes primitivos para el producto $\odot$. (El anillo de Schur también es un anillo unitario bajo el producto normal en $\mathbb{C}K$, pero, quizás sorprendentemente, no necesitamos este hecho aquí.)
Mediante nuestra identificación, $\mathbb{C}K$ proporciona el módulo de permutación natural para $G$. Sea
$$\mathbb{C}K = V_0 \oplus V_1 \oplus \cdots \oplus V_\ell$$
su descomposición en suma directa en representaciones irreducibles, donde
$$V_0 = \langle 1_K + k + \cdots + k^{d-1} \rangle$$
proporciona la representación trivial, y $V_i$ proporciona el carácter $\pi_i$ en la pregunta. Nótese que $V_0 = \langle v_0 \rangle$. Más generalmente, sea $B_i$ el conjunto de $j$ tal que $\langle \pi_i\!\!\downarrow_K, \theta^j \rangle = 1$. Entonces $V_i = \langle v_j : j \in B_i\rangle$. Además, por la reciprocidad de Frobenius
$$\langle \pi_i \!\!\downarrow_H, \mathbb{1}_H \rangle = \langle \pi_i, \mathbb{1}_H\!\!\uparrow^G \rangle = \langle \pi_i, \pi \rangle = 1$$
para cada $i$, por lo que cada $V_i$ tiene un vector único (hasta escalares) invariante bajo $H$. Dado que $e_0 = \frac{1}{d}(v_0 + v_1 + \cdots + v_{d-1})$ es invariante bajo $H$, tomando la proyección en $V_i$ vemos que una elección adecuada para este vector invariante bajo $H$ es $\sum_{j \in B_i} v_j$. Por lo tanto, una base alternativa para el anillo de Schur $S$ es
$$\big\{ \sum_{j \in B_i} v_j : j \in \{0,1,\ldots, d-1\}\big\}.$$
Bajo el isomorfismo en la 'configuración', tenemos
$$\phi_i = \sum_{j \in B_i} \theta^j \mapsto \sum_{j \in B_i} v_j.$$
Por lo tanto, mediante la inversa de este isomorfismo, $(S, \odot)$ es isomorfo a $\langle \mathbb{1}_K, \theta_1, \ldots, \theta_\ell \rangle$. En particular, el espacio lineal de caracteres está cerrado bajo el producto en $\mathcal{C}(K)$. $\Box$
