Si haces sumas y multiplicaciones infinitamente, ¿no sigue aumentando, verdad? Y aún así tenemos esta fórmula (si 0
¿Cómo entender el hecho contraintuitivo de que puedes calcular una serie geométrica infinita? Puedo aplicarlo pero no logro comprenderlo
UPD: Reemplacé 0>r>1 con 0
La imagen anterior es una representación visual de la serie geométrica infinita $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{2} \right)^n$$
Piénsalo de esta manera: A medida que $n$ se hace más grande, te queda consistentemente un área más pequeña del cuadrado más grande. Entonces, cuando $n$ se acerca a infinito, no queda nada en el cuadrado más grande, y la suma de las partes $=$ el área del cuadrado es decir, $1$.
También es importante considerar la importancia de la condición $-1 < r < 1$ aquí. Si tuvieras $r = 2$ por ejemplo, obtendrías la siguiente serie: $$2 + 4 + 8 + 16 + ...$$ Esto encajaría con tu idea de sumar infinitamente muchos términos, donde la serie crece progresivamente más grande.
Una demostración alternativa en torno a la serie $$T = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots .$$
Sea $S_n$ denotar $~\displaystyle \sum_{i = 0}^n \frac{1}{2^i} ~: ~n \in \Bbb{Z_{\geq 0}}.$
Es fácil mostrar, por inducción, que $~\displaystyle S_n = 2 - \frac{1}{2^n}.$
Por lo tanto, $~\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = 2.$
Además, por definición, $~\displaystyle T = \lim_{n \to \infty} S_n.$
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