Es cada subconjunto denso contable de $\mathbb R$ ambiently homeomorfa a $\mathbb Q$

Question

Que $S$ sea un subconjunto denso contable de $\mathbb R$. ¿Debe existir un Homeomorfismo $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tal que $f(S) = \mathbb Q$? ¿Más débil, debe ser homeomorfa a $S$ $\mathbb Q$?

Answer 1

Dos contables totalmente ordenado, conjuntos denso ordenados sin extremos son isomorfos---esto es un teorema de Cantor (Gesammelte Ahbandlungen, chp. 9, página 303 FF. Springer, 1932) así dos subconjuntos densos contables de $\mathbb R$ son homeomorfa, puesto que su topología es inducida por sus órdenes.

Ahora, si $A$, $B\subset\mathbb R$ son subconjuntos densos contables, fijar un orden isomrphism $f:A\to B$ y prolongar por continuidad. Lo que tienes es un Homeomorfismo $\mathbb R\to\mathbb R$.