Desigualdad de probabilidad intuitiva

Question

$X$ y $Y$ son dos variables aleatorias continuas i.i.d. Son ambas simétricas alrededor de cero.

¿Cómo puedo demostrar la desigualdad intuitiva:

$P(\ |X+Y| < 2|X|\ \big | \ XY<0 \ ) > 0.5$

Sé que $P(XY < 0) = 0.5$, intenté encontrar $P(\ |X+Y| < 2|X|\ and \ XY<0 \ )$ integrando las funciones de densidad de probabilidad pero no llegué muy lejos. Siento que me estoy perdiendo algo obvio.

Answer 1

Como se mencionó en los comentarios, hay dos casos principales dependiendo de los signos de $X$ y $Y.$

Intente con un solo caso para empezar, por ejemplo $X > 0, Y < 0.$ Es decir, considere valores de $X$ y $Y$ solo en el cuarto cuadrante.

En el cuarto cuadrante, trace la región de puntos $(x, y)$ para la cual $\lvert x + y \rvert < 2\lvert x\rvert.$ Dado que $x > 0$ en este cuadrante, la fórmula a trazar puede simplificarse a $\lvert x + y \rvert < 2x.$ Puede tratar con el valor absoluto restante subdividiendo en casos adicionales, $x + y < 0$ y $x + y > 0.$

La región en el otro cuadrante debería ser relativamente fácil de trazar. De hecho, puedes trazarla inmediatamente por simetría.

Ahora tiene una región en el plano sobre la cual integrar la distribución conjunta $f(x,y) = f(x)f(y).$ Cuando observe un gráfico de esta región, debería ser relativamente obvio cómo subdividirla en una región de probabilidad total $\frac14$ y otra región cuya probabilidad puede mostrar que es positiva. (Nota: Digo "obvio" solamente porque yo he visto el gráfico; no fue obvio para mí en absoluto a partir del enunciado del problema en sí).