Convergencia de una potencia infinita

Question

Existen números complejos $z$ y $w$ para los cuales

$$\lim_{n\rightarrow\infty}z\uparrow\uparrow n=w$$

donde $\uparrow\uparrow$ es el símbolo de tetración, por ejemplo, $z=\sqrt{2}$ y $w=2$.

¿Existen números complejos $z$ y $w$ para los cuales

$$\lim_{n\rightarrow\infty}z^n=w$$

donde $z\neq1$ y $w\neq0$? Demuestra tu conclusión.

Answer 1

Si $|z|<1$ el límite es $0$, si $|z|>1$ el límite es $\infty$ o no existe ya que $|z|^n\to\infty$. Si $|z|=1$ entonces $z=e^{i\theta}$ para $\theta\in[0,2\pi)$ y $z^n=e^{in\theta}$. A menos que $\theta=0$, es decir, $z=1$, la secuencia rotará el punto en el círculo unitario por $\theta$ en sentido antihorario en cada paso, y no hay límite.