Estados puros y representaciones irreducibles *-

Question

Si $A$ es un $C^*$-álgebra, entonces una $*$-representación de $A$ es irreducible si y solo si el estado correspondiente es un estado puro.

¿Qué sucede si no insistimos en que $A$ sea un $C^*$-álgebra? ¿Es una de las dos direcciones todavía cierta? ¿Existen ejemplos en los que este teorema falla?

Para dar una versión detallada de mi pregunta: Sea $A$ un álgebra unitaria sobre $\mathbb{C}$ con la involución $*$. Sea $\varphi: A \to \mathbb{C}$ un estado, es decir, un mapa $\mathbb{C}$-lineal que satisface $\varphi(a^* a) \geq 0$ para todo $a \in A$ y $\varphi(1)=1$. El conjunto de estados en $A$ es convexo y llamamos a $\varphi$ un estado puro si es un punto extremo de este conjunto. El conjunto $N_{\varphi}=\{a \in A: \varphi(a^*a)=0\}$ es un ideal izquierdo de $A$. ¿Cuándo se cumple una de las siguientes afirmaciones?

$\varphi$ es un estado puro $\Rightarrow$ $N_{\varphi}$ es un ideal izquierdo maximal

$\varphi$ es un estado puro $\Leftarrow$ $N_{\varphi}$ es un ideal izquierdo maximal ?

Editar: ¿Por qué es $N_{\varphi}$ un ideal izquierdo? Para ver esto, primero tenemos que demostrar la CSI: $|\varphi(b^* a)|^2 \leq \varphi(a^*a) \varphi(b^* b)$. Para cualquier $v=(v_1,v_2) \in \mathbb{C}^2$ tenemos que $\varphi((v_1 a + v_2 b)^* (v_1 a + v_2 b)) \geq 0$. Esto significa que la matriz $\begin{pmatrix} \varphi(a^*a) & \varphi(b^* a) \\ \varphi(a^* b) & \varphi(b^*b) \end{pmatrix}$ es semidefinida positiva. Tomando el determinante se obtiene la CSI.

Ahora usando la CSI, la afirmación es fácil: $\varphi((ua)^*ua)=\varphi(a^*(u^*ua))$, por lo tanto $\varphi(a^*a)=0$ implica $\varphi((ua)^*ua)=0$. Uno verifica de manera similar la propiedad aditiva.

Answer 1

Hay un contraejemplo para: $N_{\phi}$ es un ideal maximal izquierdo $\implies \phi$ es un estado puro.

[Edición: sea $B$ el álgebra libre no conmutativa generada por $U$ y $V$. Tenemos un mapa antilineal $^*:B \rightarrow B$ que mapea cada producto $\alpha \times E_1 E_2... E_n$ a $\overline{\alpha} \times E_n E_{n-1}... E_1$ donde $E_i \in \{U,V\}$ para todo $i \in \{1,...,n\}$ y $\alpha \in \mathbb{C}$. Si $p,q \in B$, $(pq)^* = q^*p^*$, $(p+q)^* = p^*+q^*$ y $(\alpha p)^* = \overline{\alpha} p^*$. Sea $I$ el ideal generado por $(UV-VU+i)$. Sea $A=B/I$. Si $p \in I, p^* \in I$ porque $(UV-VU+i)^* = -(UV-VU+i)$, entonces si $p-q \in I$, $p^*-q^* \in I$. Así que $^*$ está bien definido en $A].

Sea $X=\overline{U}$ y $Y=\overline{V}$.

$A$ opera en el conjunto de funciones $C^{\infty}$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$.

$(X.f)(x) := x \times f(x)$

$(Y.f)(x) := i \times f'(x)$

Tenemos $X^* := X$ y $Y^* := Y$

Tenemos $XY-YX = -i$

Sea $E:=x \mapsto e^{-x^2}$

Para todo $a \in A$, definimos $\phi(a) = \int_{-\infty}^{\infty}E(x) \times (a.E)(x) \, dx$

Luego $\phi(a^*a) = \int_{-\infty}^{\infty}E(x) \times (a^*a.E)(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty}\overline{(a.E)(x)} \times (a.E)(x) \, dx \geq 0

Podemos normalizar $\phi$ para obtener $\phi(1) = 1$

$N_{\phi}$ es el conjunto de elementos en $A$ que anulan $E$.

Entonces $N_{\phi}$ es un ideal izquierdo maximal porque:

si $b \notin N_{\phi}$, $(b.E)(x) = P(x)e^{-x^2}$ para algún $P \in \mathbb{C}[X]-\{0\}$, entonces $(b - P(X))E = 0$

entonces $b \equiv P(X)$ módulo $N_{\phi}$. Si $\deg(P) = n$, $Yb \equiv YP(X)$.

$YP(X) = P(X)Y + Q(X)$ con $\deg(Q) = \deg(P)-1$, porque $Q = iP'$.

$Y + 2iX \in N_{\phi}$

Entonces $YP(X) \equiv P(X)(-2iX) + Q(X)$

$YP(X) \equiv -2iXP(X) + Q(X)$

Entonces $(Y + 2iX)P(X) = Q(X)$

Entonces $\mathbb{C} \subset (Y + 2iX)^n b + N_{\phi}$ y $N_{\phi}$ es un ideal izquierdo maximal.

Pero $\phi$ no es un estado puro.