Segunda relación de recurrencia de segundo orden sobre otra variable

Question

Dada la relación de recurrencia

$$ \pi_0 = 0$$ $$ \pi_1 = 1$$ $$ \pi_{i+1} = \frac { (2i + 1) m \pi_i - (i + 1) \pi_{i - 1} } {i} $$

Intenté trabajar a través de un tutorial simplista y todo lo que pude descubrir es que $ \pi_i $ es un polinomio no trivial en $m$ de orden $i$.

Leyendo Wikipedia, dudo que esta ecuación se considere tener coeficientes constantes, por lo que su solución estaría bajo Resolución de relaciones de recurrencia lineales homogéneas generales y no entiendo los métodos descritos allí. Entonces, ¿cómo podría encontrar $\pi_i$?

Answer 1

En primer lugar, para que sea más claro que es lineal y homogéneo, reorganiza un poco: $$ \pi_{i+1} = \frac {(2i + 1) m} i \pi_i - \frac {i + 1} i \pi_{i - 1} $$

Dado que los coeficientes, $\frac {(2i + 1) m} i$ y $-\frac {i + 1} i$, no son constantes en $i$, y dado que $\pi_{i+1}$ depende de $\pi_{i}$ y $\pi_{i-1}$, tu clasificación del problema fue correcta. Sin embargo, esta clase de problema no tiene realmente un método general de solución, eso es todo lo que esa sección de Wikipedia que mencionaste intentaba decir. Solo estaba indicando que algunas relaciones de recurrencia en esta clase son tan comunes que sus soluciones son funciones especiales. Aunque los ejemplos que dieron eran mucho más simples en comparación con el tuyo, así que dudo que exista una solución en términos de una función especial conocida.

Los coeficientes se aproximan a valores constantes, sin embargo, a medida que $i$ tiende a infinito, por lo que si quieres comportamiento asintótico, podrías deducirlo bastante fácilmente.

Si tuviera que encontrar $\pi_i$ exactamente en términos de una incógnita $m$, lo haría numéricamente, representando $\pi_i$ con un polinomio en $m$, es decir, un vector de longitud variable, de modo que $1 + 4m$ se representaría con [1, 4].

import numpy as np

pi = []
pi.append(np.array([0]))
pi.append(np.array([1]))

for i in range(1, 30):
    pi.append(
        np.insert((2*i + 1)/i*pi[i], 0, 0) -
        np.append((i + 1)/i*pi[i - 1], 0)
    )

Answer 2

No sé cómo resolverlo de hecho, pero Wolfram Mathematica, con su RSolve función, da la solución que se puede simplificar en lo siguiente:

$$\pi_i=\frac{i(i+1)}2\, {}_2F_1\left(1-i,2+i;2;\frac{1-m}2\right),$$

donde ${}_2F_1$ es la función hipergeométrica de Gauss.

Dado que para $i>1$ el primer argumento $(1-i)$ es un entero no positivo, la serie hipergeométrica termina y tenemos un polinomio en $m$ de orden $(i-1).$

Otra forma de lo mismo es en términos de los polinomios asociados de Legendre:

$$\pi_i=-\frac{P_i^1(m)}{\sqrt{1-m^2}}.$$