Es bien conocido cómo cuantizar canónicamente el Lagrangiano
$$L = i \bar{\psi} \dot{\psi} - \omega \bar\psi \psi$$
Ahora me pregunto cómo se cuantiza el Lagrangiano con un fermión real
$$L = i \psi \dot\psi$$
Obviamente no puede haber un término de masa ya que es anticonmutativo, por lo que $\psi \psi = 0$.
No encuentro obstáculos al seguir el procedimiento de Dirac. Primero obtengo el momento conjugado como
$$\pi = i \psi$$
que veo como una restricción ya que no hay una derivada temporal en esta relación,
$$\Phi = \pi - i \psi = 0$$
Luego construyo el corchete de Dirac (DB) a partir de los corchetes de Poisson (PB)
$$\{\psi,\pi\}_{PB} = 1$$
$$\{\psi,\psi\}_{PB} = 0$$
$$\{\pi,\pi\}_{PB} = 0$$
siguiendo el procedimiento estándar. Primero defino
$$C = \{\Phi,\Phi\}_{PB} = - 2 i$$
y luego
$$\{\psi,\psi\}_{DB} = \{\psi,\pi\}_{PB} C^{-1} \{\pi,\psi\}_{PB} = 1\cdot(-2i)^{-1}\cdot 1 = i/2$$
Cuantizar implica reemplazar DB por el anti conmutador como
$$[\psi,\chi]_+ = i\hbar\{\psi,\chi\}_{DB}$$
En este caso esto resulta en
$$[\psi,\psi]_+ = i\hbar(i/2) = - \hbar/2$$
Esto implica
$$\psi \psi = - \hbar/4$$
contradiciendo el hecho de que $\psi \psi = 0$.
¿No hay salida de esto? ¿Es imposible cuantizar canónicamente esta teoría? El camino integral parece existir y tener sentido.
