La lectura de mi curso sobre teoría de grupos, me pregunté a mi mismo la siguiente pregunta :
Supongamos que $\Bbb{Z}^{k}$ puede ser incrustado en $\mathcal{GL}(n,\Bbb{Z})$. ¿Cuál es el mayor valor de $k$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Derek estaba casi en lo cierto: La respuesta precisa es que la mayor rango ( $r$ ) de un libre abelian subgrupo de $SL(n,Z)$ es igual a $$ d=\left[\frac{n^2}{4} \right] $$ donde el soporte es la función del suelo. La prueba es un poco pesado. A ver que $r\ge d$ construir un libre abelian subgrupo $H$ de la fila $d$ como el subgrupo de matrices de la forma $$ I + (a_{ij}) $$ donde $I$ es la matriz identidad y $a_{ij}\in Z$ es cero proporcionado $i(j+1)=0$ modulo $2$. Esto significa que la matriz $A=(a_{ij})$ tiene la forma $$ \left[\begin{array}{cccc} 0 & * & 0 & * ...\\ 0 & 0 & 0 & ...\\ 0 & * & 0 & * ...\\ & & \ldots & & \end{array} \right] $$ Por lo tanto, cada matriz $A=(a_{ij})$ tiene exactamente $d$ entradas que son, potencialmente, distinto de cero. Os dejo para comprobar que $H$ es de hecho un subgrupo de $SL(n,Z)$ e es isomorfo a $Z^d$. (La clave es que el $(I+A)(I+A')= I+ A + A'$ para todas las matrices $A, A'$ de los del tipo anterior.)
Para obtener el límite superior, usted tiene que utilizar algunos de maquinaria pesada (o no tan pesado, si usted vio este personal antes): Si $H$ es un servicio gratuito de abelian subgrupo de $SL(n,Z)$ de la fila $k$, se tomará el cierre de Zariski $\bar{H}$ $H$ $SL(n,R)$ ; el resultado es isomorfo al grupo aditivo $R^k$. Luego de tomar la Mentira álgebra de $\bar{H}$; es un rango de $k$ conmutativa subalgebra $a$ de la Mentira álgebra $g$ de traceless $n\times n$ real de las matrices. Luego de hacer un poco de búsqueda en google y descubrir esta conversación, a partir de la cual se aprende que la máxima dimensión de la $a\subset g$ es exactamente $d$ (parece que el resultado fue probada por primera vez por I. Schur). Por lo tanto, $r\le d$.
La combinación de este, se puede obtener que el $r=d$. Por último, desde el grupo $SL(n,Z)$ ha finito índice en $GL(n,Z)$, de las filas de su máxima libre de abelian subgrupos son los mismos.
