¿Es el espacio objetivo métrico un campo dinámico en la acción de Polyakov?

Question

En Quantum Fields and String, A Course For Mathematicians en la clase de teoría de cuerdas (volumen II), se describe la acción de Polyakov:

$$S(\xi, g, G) = \kappa\int_\Sigma d\mu_g \text{Tr}_g\,\xi^\ast G.$$

Aquí $\xi$ es un mapeo desde la superficie $\Sigma$ al espacio-tiempo, $G$ es una métrica en el espacio-tiempo, y $g$ es una métrica en $\Sigma$ (no la métrica inducida por $G$ en la imagen de $\Sigma).

Sin embargo, cuando cuantizamos, dan el integral de camino

$$\sum_{\Sigma}\int_{\text{Met}(\Sigma)}\mathcal D g\frac1{\mathcal N(g)}\int_{\text{Map}(\Sigma,M)}\mathcal D\xi e^{-S(\xi,g,G)}$$

es decir, sin integración sobre $G$. ¿Es esto un error tipográfico o se debe considerar fija la métrica del espacio-tiempo?

Answer 1

1. Sí, dentro del modelo sigma no lineal para la cuerda con una acción de la superficie del mundo (WS), los campos del espacio objetivo (TS) $(G, B, \Phi, \ldots)$ se tratan como campos de fondo no dinámicos, que juegan el papel de constantes de acoplamiento para la teoría de la WS.

2. Sin embargo, en principio, una teoría completa de la gravedad cuántica también debería incluir una integración fuera de la concha sobre geometrías y topologías del TS (y eliminar redundancias). En la práctica, generalmente se recurre a una formulación en la concha de la teoría de cuerdas. Las condiciones para que las funciones beta se anulen (para mantener la invariancia de Weyl) producen EFE generalizadas. A menudo es posible realizar estas ecuaciones de funciones beta a través de una acción TS $S[G, B, \Phi, \ldots]$.

Answer 2

Uno debería tomar lo que estoy a punto de describir aquí con un 'grano de sal' ya que la derivación que tengo en mente no es tan completa como me hubiera gustado.

De hecho, además de las respuestas habituales de los libros de texto dadas por @Qmechanic y @Sparticle de hecho hay una manera en que la integral de camino que has escrito ya contiene una integral de camino sobre métricas del espacio objetivo, $G$: está oculta en la suma sobre bucles (con lo que quiero decir bucles de cuerdas, no bucles de $\alpha'$).

En particular, si uno suma bucles de cuerdas (bajo ciertas aproximaciones, permitiendo cierto sobrecuento) uno puede demostrar que incluso la integral de camino del espacio tiempo plano acaba siendo igual a una integral de camino sobre campos del espacio objetivo ($G,B,\Phi$ más campos masivos): $$ \sum_{\rm topologías} \int \mathcal{D}(X,g)\,e^{-I[X,g,G_0]}\sim \int \mathcal{D}(G,B,\Phi,\dots)\,e^{-S[G,B,\Phi,\dots]}\qquad (*) $$ para alguna métrica auxiliar$^1$ $G_0$ que se puede tomar como $\eta_{\mu\nu}$ y $S[G,B,\Phi,\dots]$ es la acción de teoría de cuerdas no perturbativa. Por supuesto, nadie sabe qué es la teoría de cuerdas no perturbativa pero en el infrarrojo $S[G,B,\Phi,\dots]$ se reduce a la de Einstein-Hilbert más dilatón etc. El único artículo publicado que conozco que discute algunas pistas hacia esta estructura subyacente es un breve artículo poco conocido de Arkady Tseytlin. Por supuesto, es claro a partir de (*) que la métrica del espacio objetivo es completamente dinámica, y más importante por qué es una teoría de la gravedad cuántica en primer lugar.

Por eso es que la teoría de cuerdas es independiente del fondo, pero esto no es manifiesto ya que hay que sumar bucles (lo cual es difícil). Por supuesto, todo esto es consistente con las respuestas de los libros de texto (dadas, por ejemplo, por @Qmechanic y @Sparticle) porque esos argumentos son perturbativos (y usualmente de nivel de árbol en términos de bucles de cuerdas, pero cuánticos en $\alpha'$). Si uno incluye bucles de cuerdas (incluso uno) es inmediatamente aparente que los bucles desplazan los campos de fondo -- este es el mecanismo Fischler-Susskind y se conoce desde los años 80 -- por lo que (*) también es bastante natural desde este punto de vista. Por cierto, así es como se descubrió que las cuerdas bosónicas naturalmente quieren vivir en de Sitter (al menos eso es lo que da la primera corrección de bucle, y ignorando al taquión).

También debo enfatizar que hay suposiciones subyacentes en la derivación de (*), por ejemplo, no se sabe si es posible derivarlo sin arruinar la renormalizabilidad. Por ahora lo dejaré así.

$^1$ (Idealmente, la elección de la métrica $G_0$ representaría un mínimo global de la acción cuántica efectiva completa, $S[G,B,\Phi,\dots]$, pero esto es difícil ya que uno termina teniendo que desenredar una integral de camino que se define de forma iterativa en términos de un número infinito de otras integrales de camino (con inserciones de operadores vértice fuera de la cáscara) -- por lo que no es lo que uno le daría a su estudiante de posgrado como un problema de tarea. Normalmente uno hace esto en teoría de perturbaciones donde las cosas se vuelven manejables (aunque un poco confusas), pero más a menudo uno trabaja con la acción efectiva de baja energía. En principio, sin embargo, incluso si se elige una métrica que no represente dicho mínimo, los bucles inducirán renacuajos cuya cancelación corregirá la mala elección de $G_0$. Ese es el sentido en el que la teoría de cuerdas plano ya contiene todo, al menos eso es lo que entiendo.)

Answer 3

No es un error tipográfico. La teoría de cuerdas, tal como se describe por la acción de Polyakov, se formula de manera perturbativa alrededor de una métrica de espacio objetivo de fondo fijo. En este sentido, la teoría de cuerdas no está (actualmente) formulada de manera manifiestamente independiente del fondo, a diferencia de la Relatividad General. Esto no quiere decir que el espacio-tiempo en la teoría de cuerdas no sea dinámico.