¿Puede alguien demostrar por qué una operación de reemplazo de fila no cambia el determinante de una matriz?
**operación de reemplazo de fila siendo agregar una fila a otra o algo por el estilo
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ryan
Puntos
622
Una forma de pensar en ello, usando la propiedad: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$:
Agregar un múltiplo de una fila a otra es equivalente a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental.
Sea $B$ alguna matriz de $n\times n$, $A$ sea una matriz elemental de $n\times n$ que actúa como un operador que agrega $k$ copias de la fila $i$ a la fila $j$. Entonces, aplicar esa misma operación de fila a $B$ resultará en la matriz $AB$. Entonces, sin pérdida de generalidad, $A$ tiene la forma:
$$\begin{bmatrix}1 & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & k & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}$$ donde $a_{ji}=k$.
El determinante de una matriz triangular es el producto de la diagonal. $A$ tiene una diagonal unitaria, entonces $\det(A)=1$.
Por lo tanto, $$\det(AB)=\det(A)\det(B)=1\det(B)=\det(B).$$
Rodrigo de Azevedo
Puntos
608
Si tienes una matriz $\mathrm A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y reemplazas su fila $i$-ésima por una combinación lineal de las $n$ filas de $\mathrm A$, esto corresponde a multiplicar a la izquierda $\mathrm A$ por
$$\mathrm E := \mathrm I_n - \mathrm{e}_i \mathrm{e}_i^T + \mathrm{e}_i \mathrm{c}^T = \mathrm I_n + \mathrm{e}_i (\mathrm{c} - \mathrm{e}_i)^T$$
donde $\mathrm{e}_i$ es un vector con $n-1$ ceros y con un uno en la entrada $i$-ésima, y las entradas de $\mathrm{c}$ son los coeficientes de la combinación lineal. Por lo tanto, el determinante de la nueva matriz es
$$\det (\mathrm E \mathrm A) = \det(\mathrm E) \cdot \det (\mathrm A)$$
Usando la identidad del determinante de Weinstein-Aronszajn,
$$\det (\mathrm E) = \det (\mathrm I_n + \mathrm{e}_i (\mathrm{c} - \mathrm{e}_i)^T) = \det (1 + (\mathrm{c} - \mathrm{e}_i)^T \mathrm{e}_i) = 1 + (c_i - 1) = c_i$$
Por lo tanto, reemplazar una fila por una combinación lineal de filas sí cambia el determinante si el coeficiente que multiplica a la fila reemplazada no es $1$. Por ejemplo, reemplazar una fila por la misma fila multiplicada por $2$ duplica el determinante.
Daniel Raom Santiago
Puntos
41
Explicación breve: Es cierto que si todos los elementos de una fila son combinaciones lineales de otras dos filas, entonces el determinante de esa matriz es igual a una combinación lineal de dos determinantes. ¡Aún mejor, esto funciona para una combinación lineal de cualquier cantidad de filas!
Debido a esto, también es cierto que el factor común de una fila de un determinante puede ser factorizado fuera del determinante, lo que implica que si una fila consiste enteramente de ceros, factorizamos el cero, lo que significa que el determinante se vuelve cero.
- Finalmente, tomemos una fila, multipliquémosla por un cierto número $\beta$ y añadámosla a otra fila; ¡podemos ver que la fila resultante es una combinación lineal de dos filas!
- Siendo así, el determinante es una combinación lineal de dos determinantes: el determinante de la primera fila que tomamos y el determinante de la segunda fila que tomamos multiplicado por $\beta$.
- Ten en cuenta que hicimos la operación en nuestra primera fila (la segunda sigue sin cambios), por lo que hay dos filas en el segundo determinante con los mismos elementos (hay dos filas idénticas).
- Así que podemos hacer otra operación en el segundo determinante (restar esas dos filas idénticas) y hacer que una de ellas sea cero, por lo que se convierte en cero. ¡Entonces, incluso después de la operación de combinación lineal que hicimos, el determinante sigue siendo el mismo!
Explicación larga:
TEOREMA (Propiedad Lineal de los Determinantes). Si todos los elementos de la columna j de un determinante D son "combinaciones lineales" de dos columnas de números, es decir, si $$a_{ij} = \lambda b_i + \mu c_i$$ $(i=1,2,...,n)$, donde $\lambda$ y $\mu$ son números fijos, entonces D es igual a una combinación lineal de dos determinantes: $$D = \lambda D_1+\mu D_2.$$ Aquí ambos determinantes $D_1$ y $D_2$ tienen las mismas columnas que el determinante D, excepto por la columna j; la columna j de $D_1$ consta de los números $b_i$, mientras que la columna j de $D_2$ consta de los números $c_i$.
Prueba: Utiliza la definición del determinante como la "suma algebraica de los $n!$ productos de la forma $a_{\alpha_1 1}a_{\alpha_2 2}...a_{\alpha_n n}$(*), cada uno precedido por el signo determinado por sus inversiones". Sustituye el término $a_{\alpha_j j}$ por $(\lambda b_{\alpha_1} + \mu c_{\alpha_j})$ y utiliza la propiedad distributiva.
Nota: Esta propiedad lineal puede ser fácilmente extendida al caso donde CADA elemento de la columna j es una combinación lineal no de dos términos sino de cualquier otra cantidad de términos. Entonces, si $a_{ij} = \lambda b_i + \mu c_i + ... + \tau f_i$, entonces $D_j(a_{ij} = D_j(\lambda b_i + \mu c_i + ... + \tau f_i) = \lambda D_j (b_i) + \mu D_j (c_i) +...+ \tau D_j (f_i)$
(*): cualquier producto de n elementos que aparecen en diferentes filas y diferentes columnas de la matriz cuadrada (un producto que contiene un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna).
COROLARIO #1. Cualquier factor común de una columna de un determinante puede ser factorizado fuera del determinante.
Prueba: Si $a_{ij} = \lambda b_i$, entonces $D_j(a_{ij}) = D_j(\lambda b_i) = \lambda D_j(b_i)$.
COROLARIO #2. Si una columna de un determinante consiste enteramente de ceros, entonces el determinante se anula.
Prueba: Dado que 0 es un factor común de los elementos de una de las columnas, podemos sacarlo del determinante, obteniendo $$D_j(0) = D_j(0.1) = 0.D_j(1) = 0.$$
TEOREMA. El valor de un determinante no cambia al sumar los elementos de una columna multiplicados por un número arbitrario a los elementos correspondientes de otra columna.
Prueba: Supongamos que sumamos la columna k multiplicada por el número $\lambda$ a la columna j $(k \neq j)$. La columna j del determinante resultante consiste de elementos de la forma $a_{ij} + \lambda a_{ik}$. Por $D = \lambda D_1 + \mu D_2$, tenemos $$D_j (a_{ij} + \lambda a_{ik}) = D_j (a_{ij}) + \lambda D_j(a_{ik}).$$ La columna j del segundo determinante consiste de los elementos $a_{ik}$ y por lo tanto es idéntica con la columna k. Concluimos del corolario #2 que $D_j(a_{ik} = 0$, por lo que $$D_j (a_{ij} + \lambda a_{ik}) = D_j (a_{ij}).$$
Debido a la invarianza de determinantes bajo transposición, todas estas propiedades son válidas para las filas también.
En el sentido del último teorema aquí enunciado, si tomas una fila, la multiplicas por cero y le sumas otra fila, y haces lo mismo para esa columna que acabas de añadir, entonces, esencialmente, estás reemplazando dos filas. Si por operación de reemplazo de fila se entiende "sumar una fila a otra o algo por el estilo", entonces el último teorema enunciado lo demuestra.
Nota: Los teoremas, corolarios y pruebas fueron tomados del primer capítulo del libro "Álgebra Lineal", de Georgi E. Shilov (un libro intermedio basado en pruebas sobre el álgebra multilineal). http://www.amazon.com/Linear-Algebra-Dover-Books-Mathematics/dp/048663518X/ref=sr_1_sc_1?ie=UTF8&qid=1464396655&sr=8-1-spell&keywords=linear+algebra+shilob
