Integral de contorno $\int_{|z|=1}\exp(1/z)\sin(1/z)dz$

Question

Evaluar la integral de contorno $$\int_{|z|=1}\exp(1/z)\sin(1/z)\,dz$$ a lo largo del círculo $|z|=1$ en sentido contrario a las agujas del reloj una vez.

Las singularidades son $\dfrac1{\pi k},k\in\mathbb{Z}$ más el punto límite $0$. Así que no puedo aplicar el teorema del residuo. ¿Alguna otra alternativa?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\vert z \vert = 1 \implies \vert 1/z \vert = 1$. Por lo tanto, al configurar $w=1/z$, tenemos que \begin{align} \int_{\vert z \vert = 1} \exp(1/z) \sin(1/z) dz & = \overbrace{\underbrace{\int_{\vert w \vert = 1} \exp(w) \sin(w) \dfrac{dw}{w^2}}_{\text{por cambio en la orientación de la integral}}}^{\text{El signo negativo se cancela}}\\ & = \int_{\vert w \vert = 1} \dfrac{\left(1+ \mathcal{O}(w)\right)(1+\mathcal{O}(w^2))}w dw = 2 \pi i \end{align}

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} \color{#66f}{\large\int_{\verts{z}\ =\ 1}\exp(1/z)\sin(1/z)\,\dd z} &=\int_{\verts{z}\ =\ 1}{1 \over 2\ic}\bracks{% \exp\pars{1 + \ic \over z}- \exp\pars{1 - \ic \over z}}\,\dd z \\[3mm]&=2\pi\ic\,{\pars{1 + \ic} - \pars{1 - \ic} \over 2\ic} =\color{#66f}{\Large 2\pi\ic} \end{align}