Cómo resolver un límite como este? $\lim_{x\to\infty} \left( 2^{\large\sin\left(\tfrac{x^2+5}{x+5}\right)}-2^{\large\sin(x-5)} \right)=0$

Question

He escuchado que la Serie de Laurent es la mejor manera de tratar con la mayoría de los límites, pero no estoy seguro de si la Serie de Laurent puede ayudar con este en concreto.

$$\lim_{x\to\infty} \left( 2^{\large\sin\left(\tfrac{x^2+5}{x+5}\right)}-2^{\large\sin(x-5)} \right)=0$$

Creo que la razón por la que se acerca a cero es porque al graficarlo la amplitud se vuelve significativamente menor hasta que, para x=10,000, está cerca de cero.

Intenté usar la Serie de Laurent, pero no puedo usarla cuando a=0. En mi último paso sustituí $\frac{1}{x}$ pero no pude aislar las variables para evitar que el resultado final sea indeterminado para la Serie de Laurent. También es extremadamente difícil usar la regla de L'Hopital.

¿Es posible usar la Serie de Laurent en a=1 para resolver el límite? ¿Podrías tal vez usar el teorema del apretón?

Answer 1

Primero, nota que $$ 2^{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)}-2^{\sin(x-5)}=2^{\sin(x-5)}\left[2^{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}-1\right]. $$ Ahora, dado que $2^{\sin(x-5)}$ está acotado (varía entre $2$ y $1/2$), para que el límite sea cero, $$ \lim_{x\rightarrow\infty}2^{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}-1 $$ debe ser $0. En otras palabras, $$ \lim_{x\rightarrow\infty}2^{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}=1 $$ Nota que $$ \lim_{x\rightarrow\infty}2^{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}=2^{\lim_{x\rightarrow\infty}{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}}. $$ Por lo tanto, debes mostrar que $$ \lim_{x\rightarrow\infty}{\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)}=0. $$ Observa que $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+5}{x+5}-(x-5)=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x^2+5-(x^2-5)}{x-5}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{10}{x+5}. $$ Por lo tanto, la diferencia entre $\frac{x^2+5}{x+5}$ y $x-5$ tiende a cero. Por el teorema del valor medio, $$ \left(\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)\right)=\cos(c)\left|\frac{x^2+5}{x+5}-(x-5)\right| $$ donde $c$ está entre $\frac{x^2+5}{x+5}$ y $x-5$ (ya que $\cos(x)$ es la derivada de $\sin(x)$). Dado que $\cos(x)$ es una función acotada, $$ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sin\left(\frac{x^2+5}{x+5}\right)-\sin(x-5)\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\cos(c)\left|\frac{x^2+5}{x+5}-(x-5)\right|\leq\lim_{x\rightarrow\infty}\left|\frac{x^2+5}{x+5}-(x-5)\right|=0. $$

Esto completa la computación.