Suma infinita que implica el logaritmo repetido

Question

Para todo entero positivo $k$, escribimos $$\ln_k(x)=\log\log\cdots\log(x),$$ donde el logaritmo ha sido tomado $k$ veces. Por ejemplo, $$\ln_1(x) =\log x,\ln_2(x) =\log\log x,\cdots.$$ Definimos una función $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ como $$f(n)=n\prod_{m=1}^{k[n]}\ln_m(n),$$ donde $k[n]$ es el entero más grande tal que $\ln_{k[n]}(n) 1$. ¿Converge la serie $\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{f(n)}$?

Intenté el test de condensación (ya que 1/f(n) presenta n en el denominador), así que consideré la suma de (2^n)_1/f(2^n): aquí los 2^n aislados se cancelan. Luego el denominador (a partir de cierto n) presenta el término loglog(2^n)=n_log(2*((log(2))^1/n)), así que nuevamente tengo un n aislado en el denominador: hice el test de condensación otra vez, considerando (2^n)*(2^(2^n))*f(2^(2^n)). Entonces, a partir de cierto n, en el denominador tengo logloglog(2^(2^n)), del cual puedo sacar n. Continúo de esta manera haciendo el test de condensación un número infinito de veces, y termino con una suma infinita de la cual no sé si converge o diverge, ni si puedo escribir de manera compacta, y no sé si estoy en el camino correcto para resolver el problema.

Answer 1

Tu suma se reduce a $$S = \sum_{n=3}^{15} \frac{1}{n\ln (n)} + \sum_{n=16}^{3\ 814\ 279} \frac{1}{n\ln (n) \ln(\ln (n))} + \cdots ;$$ los límites de esta segmentación se encuentran sucesivamente tetratando $e$: $$\begin{split} ^1e&=e = 2.718... \\ ^2e&=e^e = 15.154... \\ ^3e&=e^{e^e} = 3\ 814\ 279.1... \\ &\cdots \end{split}$$ Dicha segmentación, considerando la monotonía del sumando, ofrece bases naturales para probar un argumento similar al de Oresme, que parece haber sido tu intuición. Pero esto no funciona. Estableciendo $E_q := \lfloor ^q e \rfloor $, $$\begin{split} S &\geq \underbrace{\frac{1}{15\ln(15)}+\cdots+\frac{1}{15\ln(15)}}_{15-3+1 \text{ veces}} + \underbrace{\frac{1}{E_3\ln(E_3) \ln(\ln(E_3))}+\cdots+\frac{1}{E_3\ln(E_3) \ln(\ln(E_3))}}_{3\ 814\ 279-15+1 \text{ veces}} + \cdots \\ &\geq \frac{E_2-E_1+1}{ ^2e\ln (^2e)} + \frac{E_3-E_2+1}{ ^3e \ln(^3e) \ln(\ln(^3e))} + \cdots \\ &\geq \frac{^2e - e}{^2e\ln(^2e)} + \frac{^3e-{^2e}}{^3e\ln(^3e) \ln(\ln(^3e))} + \cdots = \frac{^2e - e}{^2e \cdot e} + \frac{^3e - {^2e}}{^3e\cdot {^2e} \cdot e} + \cdots \end{split}$$ que converge a $\approx 0.32617...$, cuando queríamos una serie divergente.

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Otra estrategia es comprobar una integral relacionada. Tenemos $$S = \int_0^\infty f(\lfloor x \rfloor)\ dx \geq \int_0^\infty f(x)\ dx =: I, $$ donde $$f(x) := \frac{1}{x \ln_1(x) \cdots \ln_q(x)}\cdot \mathbf{1}_{ [{^q e},{^{(q+1)}e}) } (x),$$ y $\mathbf 1_{X}$ es la función característica del conjunto $X$. La desigualdad anterior se debe nuevamente a la monotonía de los sumandos de $S$. La integral $I$ puede ser evaluada dividiendo su dominio por la linealidad de la operación, de manera similar a como lo hicimos para $S$: $$I = \sum_{q=1}^\infty \int_{^qe}^{^{(q+1)}e} \frac{1}{x \ln_1(x) \cdots \ln_q(x)}dx$$ Ahora, observando que para todos los $x$ sensatos, por la regla de la cadena, $$\ln'_{q+1}(x) = \frac{1}{x \ln_1(x) \cdots \ln_q(x)}, $$ podemos emplear el Teorema Fundamental del Cálculo para obtener $$I = \sum_{q=1}^\infty \left[\ln_{q+1}(^{(q+1)}e) - \ln_{q+1}(^qe)\right] = \cdots = \sum_{q=1}^\infty [ \ln (e) - \ln (1) ] = \sum_{q=1}^\infty 1 = \infty. $$ Esto nos permite concluir que $S$ también diverge.