Pregunta sobre el método de Faddeev-Popov para la fijación de calibre

Question

La forma correcta de fijar la gauge en una integral de trayectoria es insertar el determinante de Faddeev-Popov y añadir una restricción delta funcional. La acción final contiene tres contribuciones: una de Yang-Mills (estoy tratando con un campo de Yang-Mills por ahora), una parte de ghost y una parte fijada a la gauge.

Entonces la función de partición es $$ Z[J] = \int \mathcal{D} A_{\mu}^{a} \mathcal{D} c_a \mathcal{D} \overline{c}_a \exp \left( i ( S_{YM} + S_{gh} + S_{gf} ) \right)$$ donde $$ S_{gf} = - \int d^4 x \frac{1}{2 \xi} (\partial^{\mu} A_{\mu}^{a}) (\partial^{\nu} A_{\nu}^{a}) $$ es la acción fijada a la gauge.

Ahora me preguntaba si esto no hace que la función de partición dependa explícitamente de la elección de la gauge. O sea: calculamos cosas como funciones de correlación a partir de la función de partición. ¿Cómo son entonces estos resultados independientes de la condición específica de fijación de la gauge que teníamos? ¿O en realidad esto no es un problema?

Answer 1

La integral de camino y las observables son independientes$^1$ de la condición de fijación del calibre. Tal vez sea necesario un simple ejemplo ilustrativo:

• Ejemplo ilustrativo: Imagina una acción $S_0$ que no depende de la variable $x$. En otras palabras, $x$ es una variable de calibre. Sea $f(x)\approx 0$ una condición de fijación del calibre. Aquí se asume que la función de fijación del calibre $f$ pertenece a la clase de funciones diferenciables, monótonamente crecientes con un cero simple.

  Considera la acción de calibre completa $$S~=~S_0 + S_{FP} + S_{gf}, \qquad S_{FP} ~=~ c f^{\prime}(x) \bar{c}, \qquad S_{gf} ~=~ \lambda f(x), \tag{1} $$ donde $c$ y $\bar{c}$ son un fantasma Faddeev-Popov $c$ y su anti-fantasma, respectivamente, y donde $\lambda$ es un multiplicador de Lagrange.

  La integral de camino ilustrativa $$ \begin{align} Z_f&~=~ \int \! dx ~d\bar{c}~dc~d\lambda~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S \right) \cr &~\stackrel{(1)}{=}~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~\cdot~\frac{i}{\hbar}f^{\prime}(x)~\cdot~2\pi\hbar\delta(f(x))\cr &~=~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~2\pi i~\delta(x-x_0)\cr &~=~ 2\pi i\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)\end{align}\tag{2}$$ no depende de la función de fijación del calibre $f$ dentro de la clase mencionada anteriormente. En la ec. (2) usamos la integral de Berezin $\int dc~c=1$ y la representación de Fourier de la distribución delta de Dirac.

  Ver por ejemplo esta publicación de Phys.SE para otro ejemplo ilustrativo simple.

Para una discusión más sistemática sobre la independencia de la elección de la fijación del calibre desde una perspectiva BRST, ver por ejemplo esta publicación relacionada de Phys.SE.

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$^1$ En esta respuesta, estamos saltando varios detalles técnicos, como por ejemplo, obstrucciones topológicas, etc.

Answer 2

La lógica en tu respuesta indica que el procedimiento Faddeev-Popov está un poco al revés. Debería ser:

• Dado que la integral de camino integra sobre estados físicos distintos, la teoría está definida por una integral de camino sobre configuraciones de campo de calibre no equivalentes por calibre, $Z = \int \mathcal{D}A' e^{iS}$
• Esta integral es difícil, porque el espacio de configuraciones no equivalentes por calibre es complicado.
• En el procedimiento Faddeev-Popov, "multiplicamos por 1" para convertir la integral de camino en $Z = \int \mathcal{D} A\, e^{iS'}$, donde la medida $\mathcal{D} A$ se comporta formalmente como la de un campo no calibre, integrando de manera redundante sobre configuraciones equivalentes por calibre, siendo más fácil de manejar.
• En el proceso, la acción adquiere términos adicionales de "ghosts" y de "gauge-fixing", $S' = S + S_{\text{gf}} + S_{\text{gh}}$.

Independientemente de cuál sea la condición de fijación del calibre, realmente estamos calculando exactamente lo mismo desde el principio, por lo que el resultado debe ser independiente del procedimiento de fijación del calibre.

Sin embargo, es comprensible cierta confusión porque, en una primera clase de teoría cuántica de campos, a menudo la lógica no está presente. Típicamente, se nota que la cuantización canónica no funciona para el Lagrangiano de QED, luego se añade artificialmente un término de "fijación del calibre" al Lagrangiano y se continúa sin comentario. En este caso, de hecho es necesario justificar que los resultados son independientes de la fijación del calibre. El procedimiento Faddeev-Popov es precisamente esa justificación.