Las diferentes representaciones de la Lorentz álgebra

Question

He encontrado muchas definiciones de Lorentz generadores que satisfacen la Lorentz álgebra: $$[L_{\mu\nu},L_{\rho\sigma}]=i(\eta_{\mu\sigma}L_{\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}L_{\nu\sigma}-\eta_{\nu\sigma}L_{\mu\rho}+\eta_{\nu\rho}L_{\mu\sigma}),$$, pero no sé la diferencia entre ellos.

En primer lugar, no es el simple deducción de la evaluación de la derivada de la transformación de Lorentz en cero y multiplicando por $-i$. Es un acercamiento físico.

Otra posibilidad es definir:

$$\left(J_{\mu\nu}\right)_{ab}=-i(\eta_{\mu a}\eta_{\nu b}-\eta_{\nu a}\eta_{\mu b})$$

Esto mantendrá para cualquier dimensión. Me parece un poco confuso, ya tenemos la mezcla de la matriz de índices con el componente índices.

También podemos definir:

$$M_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)+S_{\mu\nu}$$

Donde $S_{\mu\nu}$ es Hermitian conmutes con $M_{\mu\nu}$ y satisface la Lorentz álgebra. Creo que esta forma es más geométrica, ya que podemos ver una transformación de Lorentz como una rotación de la mezcla de espacio y tiempo.

Las dos últimas opciones de apariencia muy similar a mí.

Por último, podríamos empezar con la gamma matrices $\gamma^\mu$, que obedece el álgebra de Clifford: $$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2\eta^{\mu\nu}\mathbb{I}$$ (esto es fácil de demostrar en QFT el uso de Dirac y KG de ecuaciones). Y definir: $$S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]$$

Parece que este es el más abstracto de la definición. Por cierto, ¿cómo son álgebras de Clifford utilizado en QFT, además de gamma matrices (sé que están relacionados con los cuaterniones y octonions, pero nunca vi las aplicadas a la Física)?

Hay más posibles definiciones?

Cuáles son las ventajas y desventajas de cada uno?

Son algunos de ellos más fundamental y general que el de los demás?

Answer 1

ACTUALIZACIÓN de Respuesta editado para ser consistente con la versión más reciente de la cuestión.

Las diferentes definiciones que se mencionan NO son definiciones. De hecho, lo que está describiendo son diferentes representaciones de la Lorentz Álgebra. Teoría de la representación juega un papel muy importante en la física.

Tan lejos como la Mentira de álgebra de que se trate, los generadores $L_{\mu\nu}$ son simplemente algunos de los operadores con algunas propiedades de conmutación.

Las opciones de $L_{\mu\nu} = J_{\mu\nu}, S_{\mu\nu}$ $M_{\mu\nu}$ son diferentes realizaciones o representaciones de la misma álgebra. Aquí, yo soy la definición de \begin{align} \left( J_{\mu\nu} \right)_{ab} &= - i \left( \eta_{\mu a} \eta_{\nu b} - \eta_{\mu b} \eta_{\nu a} \right) \\ \left( S_{\mu\nu}\right)_{ab} &= \frac{i}{4} [ \gamma_\mu , \gamma_\nu ]_{ab} \\ M_{\mu\nu} &= i \left( x_\mu \partial_\nu + x_\nu \partial_\mu \right) \end{align} Otra posible representación es la trivial, donde $L_{\mu\nu}=0$.

¿Por qué es importante tener estas diferentes representaciones?

En física, tiene varios campos diferentes (que denota partículas). Sabemos que en estos campos se debe transformar de alguna manera bajo el grupo de Lorentz (entre otras cosas). La pregunta entonces es, ¿Cómo los campos de transformación bajo el grupo de Lorentz? La respuesta es simple. Recogemos las diferentes representaciones de la Lorentz álgebra y, a continuación, definir los campos a transformar en virtud de que la representación! Por ejemplo

1. Los objetos de transformación en virtud de la representación trivial se llaman escalares.
2. Objetos transformando en $S_{\mu\nu}$ son llamados spinors.
3. Objetos transformando en $J_{\mu\nu}$ son llamados vectores.

Uno puede venir con otras representaciones, pero estos son los más comunes.

¿Qué acerca de la $M_{\mu\nu}$ usted pide? Los objetos que he descrito anteriormente son realmente ¿NO-campos de transformación (por falta de un término mejor. Simplemente estoy refiriendo a objetos con ningún espacio-tiempo de la dependencia). Por otro lado, en la física, nos preocupamos por los CAMPOS. Con el fin de describir estos chicos, uno debe definir no sólo la transformación de sus componentes, sino también el espacio en el tiempo dependencias. Esto se hace mediante la inclusión de la $M_{\mu\nu}$ de representación a todas las definiciones descritas anteriormente. Entonces tenemos

1. Los campos de la transformación en virtud de la representación trivial $L_{\mu\nu}= 0 + M_{\mu\nu}$ son llamados campos escalares.
2. Los campos de la transformación en $S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu} $ son llamados spinor campos.
3. Los campos de la transformación en $J_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$ son llamados campos vectoriales.

Matemáticamente, nada hace que estas representaciones más fundamental que los otros. Sin embargo, la mayoría de las partículas en la naturaleza pueden ser agrupados en escalares (Higgs, pion), spinors (quarks, leptones) y vectores (fotones, W-bosón Z-bosón). Por lo tanto, las manifestaciones son a menudo todo lo que se habla.

Hasta donde yo sé, Álgebras de Clifford sólo se utilizan en la construcción de spinor representaciones de la Lorentz álgebra. Hay tal vez algún oscuro contexto en alguna otra parte de la física donde este aparece, pero yo no lo he visto. Por supuesto, no soy un experto en todos los de la física, así que no tome mi palabra para ella. Otros pueden tener una perspectiva diferente de esta.

---

Por último, sólo para ser explícito acerca de cómo los campos de transformación (según pedido) lo menciono aquí. Un campo general $\Phi_a(x)$ se transforma en virtud de una transformación de Lorentz como $$ \Phi_a(x) \a \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} L_{\mu\nu} \right) \right]_{ab} \Phi_b(x) $$ donde $L_{\mu\nu}$ es la representación correspondiente para el tipo de campo $\Phi_a(x)$ $\omega^{\mu\nu}$ es el parámetro de la transformación de Lorentz. Por ejemplo, si $\Phi_a(x)$ es un spinor, entonces $$ \Phi_a(x) \a \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} \left( S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu} \right) \right) \right]_{ab} \Phi_b(x) $$