Relaciones Entre el Espacio de Moduli y los Objetos que Parametrizan

Question

Mi amigo y yo nos preguntábamos recientemente cuáles son, si es que existen, las relaciones entre las propiedades geométricas de un espacio de moduli y la geometría de los objetos que el espacio parametriza.

Como ejemplo, se sabe que la dimensión del espacio de moduli de curvas de género $g$ tiene dimensión $3g-3$, que podríamos pensar como $dimensión \leftrightarrow género$. ¿Existen otros ejemplos de este tipo de relación?

Acepto la posibilidad de que tal vez esta ni siquiera sea una pregunta interesante, ya que de alguna manera se pierde el punto de los espacios de moduli, ¡y apreciaría una explicación si ese es el caso!

Answer 1

Cuando uno considera el espacio de móduli de curvas de género $g$, es natural esperar que su dimensión dependa de $g$. De la misma manera, por ejemplo, la dimensión del espacio $$\mathcal{M}_{g,n}^{G}=\mathrm{Hom}( \pi_1(C_{g,n}),G )/\sim$$ de representaciones del grupo fundamental de una superficie de Riemann de género $g$ con $n$ puntos punteados en un grupo $G$ dependerá de $g$, $n$, las dimensiones de $G$ y de su toro máximo en el caso de grupos de Lie, etc. Sin embargo, esto parece muy tautológico. El caso abeliano anterior proporciona un ejemplo ilustrativo: $\mathcal{M}_{g,n}^{\mathbb{Z}}\cong H^1\left(C_{g,n}\right)$.

Más generalmente, si uno puede distinguir características geométricas de diferentes puntos de un espacio de móduli $\mathcal{M}$, entonces se vuelve natural refinar su definición y estudiar los subespacios correspondientes (por ejemplo, el espacio de móduli de curvas se divide en componentes etiquetadas por diferentes géneros).