Matriz en bloque $A$

Question

Sea \begin{align} A = \begin{pmatrix} 0 & a I_n \\ b I_n & 0 \end{pmatrix} \end{align} para $a,b\in \mathbb{R}$. Quiero demostrar si este $A$ puede ser diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ calculando los polinomios característico y minimal.

$|A - \lambda I| = \left|\begin{pmatrix} -\lambda I_n & a I_n \\ b I_n & -\lambda I_n \end{pmatrix} \right| = |\lambda I_n | | -\lambda I_n + a b \lambda I_n| = |- \lambda I_n| | \left( - \lambda + \frac{ab}{\lambda}\right) I_n | = (\lambda^2 - ab)^n $

Aquí utilicé, para matrices invertibles $A,B,C,D$,

\begin{align} \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| | D - CA^{-1} B| \end{align}

Entonces el polinomio característico es $(\lambda^2 - ab)^n$. Aparentemente, $A^2 = ab \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ así que el polinomio minimal es $\lambda^2 - ab$.

Ahora quiero determinar si esto es diagonalizable o no. Estoy atascado en esto. ¿Cuál es un buen enfoque para mostrar si es diagonalizable o no?

Answer 1

Su matriz no siempre es diagonalizable. Tome $n=1, a=0, b=1$ para obtener $A=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ que no es diagonalizable.

Por lo tanto, no se puede demostrar la diagonalizabilidad general de su matriz.

Answer 2

Una matriz es diagonalizable sobre algún campo $K$ si y solo si su polinomio minimal se descompone en raíces simples sobre $K$.

Como has calculado correctamente, el polinomio minimal de $A$ es $X^2 - ab$. Este polinomio tiene grado $2$, por lo que es fácil discutir su comportamiento sobre $\mathbb R$.

Se descompone sobre $\mathbb R$ si y solo si $ab\geq 0$. Se descompone sobre $\mathbb R$ con raíces simples si y solo si $ab>0$.

Con esto, sabes exactamente cuándo la matriz $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$, dependiendo de las elecciones de los coeficientes $a,b\in \mathbb R$.