Encuentra todos los polinomios $P(x)$ tales que $x P(x-n)=(x-1) P(x)$

Question

Pregunta -

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $$x P(x-n)=(x-1) P(x)$$ para algún $n \in \mathbb{N}$ y para todo $x \in \mathbb{R}$

Mi intento -

Primero al poner $x=0$, obtengo $p(0)=0$ .. entonces la pista dice que para $n>1$ mostrar que $p(x)=0$ tiene infinitas raíces...

Primero supongo que otra raíz $R$ no es igual a $0$.. luego al poner $R$ en la ecuación obtengo que $R-n$ también es raíz ... pero no puedo probar que hay infinitas raíces...

¿Alguna pista ???

Gracias

Answer 1

Caso $n>1$

Como notaste $P(0)=0$. Usando este hecho y evaluando la igualdad en $x=n$ tenemos: $$\begin{gather} nP(n-n) = (n-1)P(n)\\ 0 = P(n) \end{gather}$$

Este procedimiento sugiere (en cierto sentido) la siguiente afirmación:

Si $k\in \mathbb N$ y $kn$ es una raíz de $P(x)$, entonces $(k+1)n$ es una raíz de $P$.

De hecho, evaluando la igualdad en $(k+1)n$ sabiendo que $P(kn)=0$ tenemos: $$\begin{gather} (k+1)n P((k+1)n-n)) = ((k+1)n-1)P((k+1)n)\\ 0 = P((k+1)n) \end{gather}$$

Gracias a este hecho, tenemos que el conjunto $\{0,n,2n,3n, 4n,...\} = \{kn\}_{k\in \mathbb N}$ es un conjunto de raíces de $P$. Dado que es infinito, $P(x)=0$.

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Caso $n=1$

Nuevamente tenemos $P(0)=0$ entonces $P(x)=xQ(x)$ para un cierto polinomio $Q(x)$. Sustituyendo esta igualdad en la igualdad del texto tenemos: $$\begin{gather} x(x-1)Q(x-1)=x(x-1)Q(x)\\ Q(x-1)=Q(x) \end{gather}$$ Y esto implica que $Q(x)=c$ con $c\in \mathbb R$. Entonces, el polinomio $P(x)$ es necesariamente de la forma $P(x)=cx$ para algún $c\in \mathbb R$ y cualquier polinomio de esta forma funciona.

Editar: En el caso $1$ debemos tomar un incremento lineal y no exponencial.

Answer 2

Para $n>1$,

Dado: $$x P(x-n)=(x-1) P(x)$$

En primer lugar, ponemos $x=1$ en la ecuación anterior para obtener $P(1-n)=0$.

Luego ponemos $x=1-n$ nuevamente en esa ecuación para concluir $P(1-2n)=0$. Ahora ponemos $x=1-2n$ y así sucesivamente.

¿Puedes continuar este proceso indefinidamente a menos que P sea el polinomio cero?

Para $n=1$, tenemos:

$xP(x-1)=(x-1)P(x)$

Esto implica que $P(0)=0$. Ahora dejemos que $P(x)=xf(x)$, entonces obtenemos:

$x(x-1)f(x-1)=(x-1)xf(x)$

Esto implica que $f(x)=f(x-1)$ para todo $x$, lo cual solo es posible cuando $f(x)$ es constante. Por lo tanto, $P(x)=cx$ para alguna constante $c$.

Answer 3

Hagámoslo para $n=2$. Supongamos que $xP(x-2) = (x-1)P(x)$ para todo $x$ real. Al sustituir $x=0$, $0 = -P(0)$ por lo tanto $P(0) = 0$.

Luego, observa que $2P(2-2) = (2-1)P(2)$, la parte izquierda es $0$, entonces la parte derecha también es $0$ es decir $P(2) = 0$.

Después, $4P(4-2) = (4-1)P(4)$, la parte izquierda es $0$, por lo tanto también la parte derecha es $0$ es decir $P(4) = 0$.

Por inducción, $P(2n) = 0$ para todo $n$. Esto es imposible si $P$ es un polinomio a menos que $P \equiv 0$.

¿Puedes hacer algo similar para otros $n$?

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Supongamos que $n = 1$. Entonces, queremos un polinomio tal que $xP(x-1) = (x-1)P(x)$.

Observa que $x-1$ es coprimo con $x$ como polinomios, por lo tanto $x$ debe ser un divisor de $P(x)$. Sea $Q(x) = \frac{P(x)}{x}$ (como polinomio, por lo que estará bien definido en $0$), entonces a partir de $\frac{P(x)}{x} = \frac{P(x-1)}{x-1}$ obtenemos que $Q$ tiene infinitos valores todos iguales entre sí. Por lo tanto, $Q$ es un polinomio constante.

Así, $P(x) = Cx$ para alguna constante $C$. Claramente, cualquier constante real funciona.