Una resolución muy rara para una ecuación integral

Question

Aquí hay algo que encontré en internet $$\begin{aligned} f-\int f&=1\\ \left(1-\int\right)f&=1\\ f&=\left(\frac1{1-\int}\right)1\\ &=\left(1+\int+\int\int+\dots\right)1\\ &=1+\int1+\int\int1+\dots\\ &= 1+x+\frac{x^2}2+\dots\\ &= e^x \end{aligned}$$ Al principio interpreté esto como una broma, pero al examinarlo más de cerca ya no estoy tan seguro...

Lo primero que comprobé fue la solución, y efectivamente, $e^x$ satisface la ecuación inicial. Sin embargo, no es la única solución: $\lambda e^x$ funciona igual de bien para cualquier $\lambda\in\mathbb R$. No estoy muy familiarizado con las ecuaciones integrales; no sé si el espacio de soluciones es un espacio vectorial. Tal vez lo es y nuestro objetivo es encontrar una base para él. Si ese es el caso, entonces $e^x$ podría ser el resultado esperado.

Dicho esto, empecé a analizar el desarrollo.

• Escribir $\displaystyle f-\int f$ como $\displaystyle \left(1-\int\right)f$ es completamente válido, es simplemente cálculo operacional.
• ¿La "división de ambos lados" por $\displaystyle\left(1-\int\right)$ realmente debe significar aplicar su inversa $\displaystyle\left(\frac1{1-\int}\right)$ en ambos lados, ¿verdad? Esto parece estar bien, pero no está en absoluto claro para mí por qué debería ser invertible este operador. De hecho, la existencia de múltiples soluciones sugiere lo contrario...
• El paso más ridículo seguramente es escribir $\displaystyle \frac1{1-\int}=1+\int+\int\int+\dots$. Si esto es cierto, resolvería mi problema con el paso anterior. ¿Lo es, sin embargo? Puedo ver cómo la sumatoria infinita de integrales puede estar bien definida, pero no más allá de eso. Sé que está haciendo referencia a la igualdad formal de series de potencias $\displaystyle\frac1{1-X} = 1+X+X^2+\dots$, pero no sé si la misma prueba aplica ya que requiere distributividad.
• Por último, hay una cantidad infinita de constantes problemáticas que desaparecen en la nada en $\displaystyle 1+\int1+\int\int1+\dots$, una sola de las cuales sería suficiente para destruir la solución: $e^x+1$ no satisface la ecuación.

Supongo que esto realmente es una broma, pero quiero saber cuánto de verdad hay en esto. ¿Dónde están los problemas y qué tan grandes son? ¿Hay algo rescatable aquí?

Answer 1

En general, si $T$ es un operador lineal acotado en un espacio de Banach $B$ con norma $||T|| < 1$, entonces $1-T$ es invertible, $1 + T + T^2 + \cdots$ converge en la topología del espacio de Banach, y

$$(1-T)^{-1} = 1 + T + T^2 + \cdots$$

así como en el caso de los números reales. Ver serie de Neumann.

En este caso, interpretando $\int$ como el operador $\mathcal{C}[0, 1-\epsilon] \to \mathcal{C}[0, 1-\epsilon]$ dado por $(\int f)(x) = \int_0^x f(t) \, dt$, donde $\mathcal{C}[0, 1-\epsilon]$ es el espacio de Banach de funciones continuas de valores reales en $[0, 1- \epsilon]$ para algún $\epsilon > 0$, notamos que $\int$ es un operador lineal acotado y tiene norma $||\int|| = 1-\epsilon$ (ver Integral as a linear operator is bounded). Entonces sabemos que $(1 - \int)$ es invertible y $(1-\int)^{-1}= 1 + \int + \int\int + \int\int\int + \cdots$, por lo que estos cálculos están justificados.

Answer 2

En realidad, es la idea principal detrás del teorema de Cauchy-Lipschitz. En general, digamos que deseas resolver la EDO: $$ y'(x) = f(x,y(x)) $$ con condición inicial $y(x_0) = y_0$. En tu caso, $$ x_0 = 0 \quad y_0 = 1\quad f(x,y) = y $$ La idea es reformularlo como una ecuación de punto fijo. De hecho, si tienes una ecuación general para resolver: $$ X = \Phi(X) $$ puedes construir una solución iterando $\Phi$. Formalmente, aplicar $\Phi$ un número infinito de veces da un punto fijo ya que una iteración más no cambiará las cosas (uso clásico del infinito como una mise en abyme). Para hacerlo riguroso, necesitas demostrar que estas iteraciones convergerán y si $\Phi$ es continua, el límite será un punto fijo. En particular, para ecuaciones lineales, esto equivale a la serie de Taylor de la inversa si comienzas en $0$: $$ X = AX+B \\ (1-A)X = B \\ X = \left(\sum_{n=0}^\infty A^n\right)B \\ X = A(A(...(0+B)...)+B)+B $$

Volviendo a la EDO, el truco es reformularla como una ecuación integral: $$ y(x) = y_0+\int_{x_0}^xf(\xi,y(\xi))d\xi $$ Esto es una mejora en muchos niveles. En primer lugar, es un problema de punto fijo. En segundo lugar, no necesitas especificar la condición inicial, esta incluida en la ecuación. Finalmente, ahora tiene sentido resolver la ecuación en una clase de funciones más general, lo cual es útil para consideraciones topológicas (como resolver ecuaciones en $\mathbb R$ es más fácil que en $\mathbb Q$). El operador es el mapeo de Picard, y en tu caso, es: $$ y(x)\to 1+\int_0^xy(\xi)d\xi $$

La parte técnica de la prueba de Cauchy-Lipschitz es demostrar la convergencia de las iteraciones del mapeo de Picard, lo que implica suposiciones de regularidad de $f$ (continuidad de Lipschitz) y el teorema del punto fijo de Banach. Puedes consultar, por ejemplo, el libro de V. Arnold Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para obtener una discusión más detallada y técnica.

Espero que esto te ayude.