Sea $G$ un grupo finito y sea $F$ un campo.
¿Existe una demostración sencilla de que toda representación irreducible de $G$ se puede incrustar en el álgebra de grupo $F[G]$?
Estoy especialmente interesado en el caso en que $mcd(|F|,G)\neq 1$?
Respuestas
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Luc Hermitte
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Un álgebra de grupo de un grupo finito sobre un campo es un álgebra de Frobenius. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_algebra
Essencialmente, esto significa que hay una forma bilineal no degenerada en el álgebra (envía (a, b) al coeficiente de 1 en ab). En un álgebra de Frobenius, el dual del módulo regular derecho es isomorfo al módulo regular izquierdo. Dado que los indecomponibles inyectivos son los duales de los indecomponibles proyectivos derechos, se sigue que los indecomponibles inyectivos son sumandos directos en el módulo regular izquierdo. Dado que cada simple se incrusta en su envolvente inyectiva (es decir, el dual de su cubierta proyectiva derecha), se sigue que cada módulo simple se incrusta en el módulo regular izquierdo.
Shannon Nelson
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Cuando $F$ es algebraicamente cerrado (o, más generalmente un campo de descomposición), la respuesta es positiva en el sentido de que cada módulo derecho irreducible $FG$ es isomorfo a un ideal derecho minimal del álgebra de grupo $FG$ (me quedo con mi notación preferida). Posiblemente el argumento más simple que conozco, que realmente se remonta a Richard Brauer, es el siguiente: (Asumo que la estructura de álgebras semisimples es conocida, lo cual es razonable para MO). Sea $V$ un módulo derecho irreducible $FG$, y sea $\sigma:FG \to {\rm End}_{F}(V)$ la representación asociada. Sea $\tau$ la traza valorada en $F$ proporcionada por esta representación. Forme el elemento $i(\tau) = \sum_{g \in G} \tau(g^{-1})g$, el cual es un elemento central del álgebra de grupo $FG$. Sea $I_{\tau}$ el ideal (bilateral) $i(\tau)FG$ de $FG$. Note que para cada $h \in G$, tenemos $i(\tau).h = \sum_{g \in G} \tau(g^{-1}h)g$. Por lo tanto, para cualquier $x \in FG$, tenemos $i(\tau)x = \sum_{g \in G} \tau(g^{-1}x) g. $En particular, $ i(\tau) x = 0$ siempre que $x \in J(FG)$, ya que los endomorfismos nilpotentes tienen traza 0. Más generalmente, el aniquilador de $V$ (que es un ideal bilateral máximo de $FG$) aniquila $i(\tau)FG$. Dado que $\{ g\sigma: g \in G \}$ abarca ${\rm End}(V)$, vemos que un elemento $x$ de $FG$ aniquila $V$ si y solo si $\tau(g^{-1}x) = 0$ para cada $g \in G$, por lo que el aniquilador de $ i(\tau)FG$ no es más grande que el aniquilador de $V$. Por lo tanto, $i(\tau)FG$ es isomorfo a la álgebra simple ${\rm End}_{F}(V)$ tal como módulo derecho de $FG$, y el último módulo es isomorfo a la suma directa de ${\rm dim}_F(V)$ copias de $V$ como módulo derecho de $FG$. Por lo tanto, un ideal derecho minimal de $FG$ contenido en $i(\tau)FG$ es isomorfo a $V.
