Sea ($x_t$) una secuencia en un espacio métrico, y sea $C$ el rango de ($x_t$). Quiero dar un ejemplo en el que $x$ sea un punto límite de $C$ pero ($x_t$) no converge a $x.
Aquí está mi ejemplo: sea $C$ = (0,1], donde 1 es un punto límite de $C$, sea ($x_t$) = ($1/t$) = ($1,1/2,1/3,...$), pero ($x_t$) converge a cero en lugar de 1.
¿Es correcto mi ejemplo? Si no, ¿podría alguien dar otro ejemplo, por favor? Gracias.
$1$ no es un punto límite de $C.
La definición de punto límite es, ($x$ de $C$) $$ \forall r > 0, \exists y \in C\mid y \neq x, \operatorname{d}(x,y) < r $$ entonces tomando $r = 1/3$...
Puedes elegir $x_j = 1/j$ para todos los $j$ pares y $x_j = 1-1/j$ para todos los $j$ impares. Luego, $0$ y $1$ son puntos límite de $C$, pero la secuencia no converge.
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