$n^{\alpha}U_{(1)} \to 0$ casi seguramente para cualquier $\alpha < 0.5$

Question

Sea $U_i$ una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con la siguiente función de densidad $f(x) = 2x \ \ x \in[0,1]$ y $0$ en cualquier otro lugar. Necesito mostrar que $n^{\alpha}U_{(1)} \to 0$ casi seguramente para cualquier $\alpha < 0.5$.

$U_{(1)} = min(U_1,U_2,\dots,U_n)$

Mi intento: He intentado usar el lema de Borel-Cantelli y obtuve la siguiente serie

$\sum_{n=1}^{\infty}P(n^\alpha U_{(1)} \geq \epsilon) = \sum (1-\frac{\epsilon^2}{n^{2\alpha}})^n $

Si logro mostrar que la serie anterior converge, no podría probar que la serie anterior converge.

Answer 1

Pista: $1-t \leq e^{-t}$ para cualquier $t \geq 0$ $\sum e^{-cn^{s}}<\infty$ para cualquier $c,s >0$. [Para cualquier entero positivo $k$ tenemos $e^{-cn^{s}} \leq \frac 1{(cn^{s})^{k}} {k!}$ elige $k$ de manera que $sk>1$].