¿El nervio tiene un adjunto derecho, a veces?

Question

Sea $F: G\to PA$ un funtor ($G$ una categoría pequeña, $PA = [A°,Set]$ la categoría de prehaces de $A$). Sea $N_F$ el funtor $PA\to PG$ definido por la extensión de Kan izquierda del embbeding de Yoneda $y_G: G\to PG$ a lo largo de $F": El siguiente procedimiento parece exhibir un adjunto derecho para $N_F"; esto es extraño, ya que $N_F$ en general es solo un adjunto derecho. ¿Puedes encontrar el error (si lo hay) en mi argumento?

Considera el diagrama extendido donde el funtor $PG \to PA$ es la extensión izquierda de $y_A$ a lo largo de $N_F y_A$, que puede demostrarse fácilmente que es igual a la extensión izquierda de la identidad a lo largo de $N_F$. Y este último funtor será el adjunto derecho de $N_F$: la unidad y la counidad están determinadas por las propiedades universales correspondientes.

Muchas cosas pueden ser ciertas en este punto:

1. El funtor no existe.
2. El funtor existe, pero no es un adjunto derecho de $N_F$ (la extensión no es absoluta/no es preservada por $N_F$).
3. El funtor es realmente un adjunto derecho de $N_F$; no sabía que tenía uno en el caso especial en el que su dominio es una cocumpletación libre.

Observa que tomar la extensión derecha de $y_A$ a lo largo de $N_Fy_A$ no da como resultado un adjunto izquierdo de $N_F$: si dicho adjunto izquierdo existe, es único y debe exhibir la propiedad universal de la extensión izquierda de $F$ a lo largo de $y_A$: $$ \text{Lan}_{y_A}F \dashv \text{Lan}_Fy_A $$ (eso es una instancia de la nervadura de $F$ y la realización de $F$ yoga). De hecho, un paso clave en el argumento anterior es que $\text{Lan}_{N_F y_A}y_A\cong \text{Lan}_{N_F}(\text{Lan}_{y_A}y_A) \cong \text{Lan}_{N_F}1$, ya que $y_A$ es denso. Pero no es codenso: de hecho, $\varphi \to \text{Ran}_{y_A}(y_A)(\varphi)$ es el componente $\varphi$ de la unidad de la adjunción de Isbell.

Answer 1

Para responder a la pregunta del título, pero no a la pregunta sobre tu argumento...

$PG$ y $PA$ son categorías localmente presentables, por lo que $N_F: PA \to PG$ tiene un adjunto derecho si y solo si preserva colímites pequeños.

A partir de la fórmula $$ N_F(Q)(g) \cong \hom_{PA}(F(g), Q) $$ la condición de que $N_F$ preserva colímites es equivalente a isomorfismos naturales $$ \hom_{PA}(F(g), \operatorname{colim}_j Q_j) \cong \operatorname{colim}_j N_F(Q_j)(g) \cong \operatorname{colim}_j \hom_{PA}(F(g), Q_j) $$

En otras palabras, $F(g)$ debe ser un objeto pequeño para cada $g$.

Pero en una categoría de prehaces, los objetos pequeños son precisamente los retractos de los representables. Si la categoría del dominio es idempotente completa, esto se simplifica a los objetos pequeños siendo precisamente los representables.

En otras palabras, $N_F$ tiene un adjunto derecho si y solo si $F$ puede ser escrito como una composición de un funtor $G \to \operatorname{Idem}(A)$ seguido de la inclusión de Yoneda.