Un teorema de convergencia dominada aplicado a $e$ definición de número

Question

Quiero demostrarlo:

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.$$

Por el teorema del binomio

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f_n(k).$$

Aquí tengo problemas con los límites, ya que el límite de la suma depende de $n$ y también los términos de la suma. He intentado arreglarlo con lo siguiente:

Dejemos que $g_n:=f_n\chi_{P_n}\colon \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ funciones medibles en la medida de recuento $\mu$ en $\mathbb{N}$ tenemos que $$g_n(k)=f_n(k)\chi_{P_n}(k)\to \frac{1}{k!}$$ para cada $k\in\mathbb{N}$ y $P_n=\{1,\ldots,n\}$ . Pero $$|g_n(k)|\leq \frac{1}{k!}:=f(k)\quad\text{and}\quad \int_{\mathbb{N}}f(k)d\mu(k)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}<3<\infty.$$

Así que por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue,

\begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f_n(k)\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_{P_n}f_n(k)d\mu(k)\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{N}}\chi_{P_n}(k) f_n(k)d\mu(k)\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{N}}g_n(k)d\mu(k)\\ &=\int_{\mathbb{N}}\lim_{n\to\infty}g_n(k)d\mu(k)\\ &=\int_{\mathbb{N}}f(k)d\mu(k)\\ &=\int_{\mathbb{N}}\frac{1}{k!}d\mu(k)\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}. \end{align}

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tus segundas y terceras igualdades en la cadena inferior son incorrectas, deberían ser $$ = \lim \int_{P_n} f_n d\mu = \lim \int_{\mathbb{N}} \chi_{P_n} f_n d\mu $$ Pero el resto de la prueba pasa si se corrige este pequeño error. La prueba se ve bien.