¿Es posible expresar $f(n)$ y $g(n)$ en una sola fórmula?

Question

Sí, esta parece ser una pregunta tonta, pero por favor escucha mi pensamiento.

Ejemplo: $n\in\mathbb{N}$ , Sea $f(n)=2n-1$ y $g(n)=2n$, Ahora observa esta función: $$H(n)=n$$ Si "combinamos" $f(n)$ y $g(n)$ obtenemos $h(n)$

Pregunta: Si $n\in\mathbb{N}$ y $$f(n)=\frac{2^{8n-3}-2^{2n-1}-3}{9}$$ $$g(n)=\frac{2^{8n-4}-2^{2n}-3}{9}$$

¿Es posible expresar $f(n)$ y $g(n)$ en una sola fórmula?

PD. El inglés no es mi lengua materna. Puede que no haya sido clara mi pregunta. Para una mejor comprensión del problema por favor, edita. ¡Gracias!

Answer 1

Un ejemplo simple sería: $$H(n)=\frac12((-1)^n+1)f(n/2)+\frac12(-1^{n+1}+1)g((n+1)/2)$$ Para todo $m\in\Bbb{N}$, tenemos: $$H(2m)=\frac12(1+1)f(m)+\frac12(-1+1)g((2m+1)/2)=f(m)$$ $$H(2m-1)=\frac12(-1+1)f((2m-1)/2)+\frac12(1+1)g(m)=g(m)$$

Answer 2

Creo que la palabra que quieres podría ser "interpolación". Básicamente lo que estás haciendo con $f(n)$ y $g(n)$ es dejar

$$H(1)=f(1),\ H(2)=g(1)$$

$$H(3)=f(2),\ H(4)=g(2)$$

$$H(5)=f(3),\ H(6)=g(3)$$

$$\vdots$$

así que estás definiendo $H(2n-1)=f(n)=2n-1$ y $H(2n)=g(n)=2n$, por lo que $H(x)=x$ para todos los enteros $x$. Puedes hacer exactamente lo mismo con tus nuevas funciones y obtener

$$H(x)=\bigg\{\begin{array}{cc}\frac{1}{9}\left(2^{4x+1}-2^x-3\right) & \mathrm{si\ }x\ \mathrm{es\ impar} \\ \frac{1}{9}\left(2^{4x-4}-2^x-3\right) & \mathrm{en\ otro\ caso}\end{array}$$

No se ve tan bonito como $H(x)=x$, pero sigue siendo una función.

Answer 3

Pista. Eso es lo que dice Wolfie, cuando intento poner los primeros valores de esas funciones: $g(n)$, $f(n)$ [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=1,+3,+453,+909,+116501,+233013,+29826133,+59652309,+7635497301,+15270994773,+...\]](https://www.wolframalpha.com/input/?i=1,+3,+453,+909,+116501,+233013,+29826133,+59652309,+7635497301,+15270994773,+...])