¿Qué resultado debo considerar para el MCD con polinomios?

Question

Necesito calcular el MCD de $$x^4+3x^3+2x^2+x+4 \ \text{y } x^3+3x+3 \ \text{en} \ \mathbb{Z}_5$$ Usando el algoritmo de Euclides: $$x^4+3x^3+2x^2+x+4 = (x^3+3x+3)(x+3)-3x\\ x^3+3x+3 = (-3x)(\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3})+3 \\-3x = (3)(-x)+0 $$ Ahora debo considerar el último residuo no nulo (que es 3) que (creo) debería ser el MCD, de hecho parece que el MCD es 1 según wolfram

Entonces mi pregunta es: ¿qué resultado debo considerar como MCD cuando se calcula con polinomios?

Answer 1

Sobre el campo $\Bbb F_5$ tenemos $$ x^4+3x^3+2x^2+x+4=(x^3 + 4x^2 + x + 1)(x + 4) $$ y $x^3+3x+3$ no tiene raíces en $\Bbb F_5$ y por lo tanto es irreducible. Lo mismo ocurre con el otro polinomio de grado $3$. Aquí hemos utilizado que un polinomio cúbico sobre un campo es reducible si y solo si tiene una raíz. A partir de esto queda claro que el mcd es igual a uno.

Answer 2

En general, los MCD solo se definen hasta factores unitarios* - así que, dado que $3$ es una unidad en $\mathbb Z_5$, decir que el MCD es $3$ es lo mismo que decir que el MCD es $1$.

*Para anillos de polinomios sobre un cuerpo, es común elegir el representante del conjunto de MCDs que es un polinomio mónico, por lo que en ese sentido es ligeramente más convencional decir que el $1$ es el MCD que decir que $3$ lo es. Pero esa es una normalización que harías después del algoritmo de Euclides. (O, por cierto, podrías elegir normalizar cada resto para que sea mónico después de cada paso. Eso no hace ninguna diferencia significativa ya que para propósitos de divisibilidad estás siempre preocupado principalmente con los ideales generados por cada uno de los polinomios concretos que estás viendo).