¿Existe un teorema de 'coherencia' para conjuntos simpliciales? ¿Sobre la elevación única de transformaciones naturales de truncamientos $n$ a transformaciones naturales completas?

Question

$\newcommand{\set}{\mathsf{Set}}\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}\newcommand{\sk}{\operatorname{sk}}\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\newcommand{\cosk}{\operatorname{cosk}}\newcommand{\nat}{\mathsf{Nat}}\newcommand{\graph}{\mathsf{Graph}}\newcommand{gr}{\operatorname{Gr}}$He estado estudiando cosas 'simpliciales' solo por unos días, pero me he encontrado repetidamente con el mismo problema. La estructura básica del problema es la siguiente:

Dado $n\in\Bbb N_0$, dos conjuntos simpliciales $X,Y$ y algún mapa $\varphi:X\to Y$ que es natural en los primeros $n$ componentes, necesitamos mostrar que $\varphi$ es natural en todos los componentes dado que $X$ tiene dimensión $\le n$. Esto es muy fácil cuando $n=0$, pero en dimensiones más altas encuentro que es confuso - pero es esencial para la teoría básica del (co)esqueleto y espero ver el mismo problema surgir en otras situaciones.

---

Ejemplos motivacionales:

• Mostrar que la definición del $n$-esqueleto como: $$\sk_n(X_m):=\{\sigma\in X_m:\exists k\le n,\,\exists f\in\Delta(m,k),\,\sigma\in X_f(X_k)\}$$ Coincide con la definición del $n$-esqueleto de un conjunto simplicial a través de la extensión de Kan izquierda. Específicamente, se debe mostrar que una familia de funciones $q_t:X_k\to Y$, donde $Y$ es algún conjunto y $t\in\Delta(m,k)$ cualquier flecha, que satisfacen $q_{ft}=q_t\circ X_f$ para cualquier $f\in\Delta(k,k')$ (donde $k,k'\le n$) también debe satisfacer: $$q_t(\tau)=q_{t'}(\tau')$$ Cuando $X_t(\tau)=X_{t'}(\tau')$.
• Dada la definición de $\cosk_n(X_m)$ como: $$\cosk_n(X_m)\cong\nat(\tr_n\Delta^m,\tr_n X)$$ Podríamos querer verificar: $$\cosk_n(X_m)\cong\nat(\sk_n\Delta^m,X)$$ Lo cual se reduce a lo siguiente: dado una familia de mapas $\varphi_k:\Delta^m_k=\sk_n(\Delta^m_k)\to X_k$, $k\le n$ que es natural en las primeras $n$ coordenadas, y dada la definición de $\varphi$ en $k>n$ como: cada elemento de $\sk_n(\Delta^m_k)$ es una flecha $f:k\to m$ que se factoriza como $f=k\overset{g}{\longrightarrow}\nu\overset{h}{\longrightarrow}m$ donde $\nu\le n$, entonces definimos: $\varphi_k(f):=X_g(\varphi_\nu(h))$. ¿Esto está bien definido?
• En una categoría adecuada de gráficos $\graph$, hay un funtor $\gr:[\Delta\op,\set]\to\graph$ asignando a cada conjunto simplicial su gráfico con $0$-símplices como vértices y $1$-símplices no degenerados como aristas. Cuando $X,Y$ son dos conjuntos simpliciales, $X$ teniendo dimensión $\le1$, queremos mostrar: $$\graph(\gr(X),\gr(Y))\cong\nat(X,Y)$$ Lo cual se reduce a mostrar que dos mapas $\psi_{0,1}:X_{0,1}\to Y_{0,1}$, que son naturales, se extienden a una transformación natural $\psi:X\implies Y$ de forma única. Dado que $X$ es $\le1$-dimensional, un elemento $\sigma\in X_m$ se puede expresar como $X_t(\tau)$ para algún $\tau\in X_{0,1}$ y podríamos intentar definir $\psi(\sigma):=Y_t\psi(\tau)$ para preservar la naturalidad. Pero - ¿está esto bien definido? ¿Qué pasa si $\sigma=X_{t'}(\tau')$ para otro par $t',\tau'$?

---

Inicialmente pensé que podía argumentar de la siguiente manera (tomando la notación de la introducción) hay una descomposición de un símplice $\sigma\in X_m$ como $X_\alpha(\omega)$ donde $\alpha:m\to n$ es sobreyectiva.

"Porque $\alpha$ es sobreyectiva, cualquier otro $t:m\to k$, $k\le n$, se factoriza como $t=\beta\alpha$. Entonces, si $X_t(\tau)=\sigma$, entonces $X_\alpha(X_\beta(\tau))=X_\alpha(\omega)$ y porque $\alpha$ es sobreyectiva, $X_\alpha$ se in$\omega=X_\beta(\tau)$ y podemos deducir: $$Y_\alpha\varphi(\omega)=Y_\alpha\varphi(X_\beta(\tau))=Y_\alpha Y_\beta\varphi(\tau)=Y_t\varphi(\tau)$$ Así que ambos coinciden - la definición de $\varphi(\sigma)$ como $Y_t\varphi(\tau)$ para cualquier $t,\tau$ está bien definida."

_

Pero esto tiene el fallo fatal de que $t=\beta\alpha$ no es necesariamente verdadero. ¿Cómo podemos resolver este problema? ¿Por qué $$Y_t\varphi(\tau)=Y_{t'}\varphi(\tau')$$ Para un mapa $\varphi$ natural en coordenadas de baja dimensión, si $X_t(\tau)=X_{t'}(\tau')$?

P.D. Formulé el título de esta manera porque esto parece ser un principio general que podría demostrarse como un subcaso de un teorema general sobre los conjuntos simpliciales. Se lee como: 'todos los caminos conmutan', donde un camino es una descomposición $\sigma=X_t(\tau)$ y la conmutatividad se lee como $Y_t\varphi(\tau)=Y_{t'}\varphi(\tau')$.

_