¿Cuál es la formulación más "concreta" equivalente de la Hipótesis del Continuo que puedes pensar?

Question

Hay muchas formulaciones equivalentes de la Hipótesis del Continuo, pero creo que la más estándar es que

no hay cardinalidad infinita que esté estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de los números reales.

Pero, al intentar explicar la Hipótesis del Continuo en un contexto de matemáticas populares, puedo imaginar a la gente pensando, "Bueno, toda esta 'búsqueda de diferentes tamaños de infinito en términos de mapeos uno a uno' suena realmente genial, pero en última instancia se reduce a los matemáticos participando en juegos de lógica abstractos". Y, según entiendo, una pregunta importante en la filosofía de las matemáticas es si esas personas tendrían razón en realidad. Sin embargo, aún podríamos al menos preguntar: ¿cuál es la declaración equivalente a la Hipótesis del Continuo que se siente menos como 'juegos abstractos de palabras' y más concreta?

Aquí está mi mejor intento:

(Considero que $\mathbb{N}$ no incluye el $0$.)

Recordemos el paradoxo de Zenón: la secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida recursivamente por $a_1=0$ y $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+1)$ es una secuencia infinita estrictamente creciente, y aún así tiene un límite superior finito.

Un Paradoxo de Zenón Generalizado es una partición de $[0,1)$ de la forma $$\Big\{ [ q_n , q_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\}$$ para alguna secuencia de números racionales $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Diremos que dos Paradoxos de Zenón Generalizados $$\Big\{ [ q_n , q_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\} \quad \text{y} \quad \Big\{ [ \tilde{q}_n , \tilde{q}_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\}$$ son equivalentes cualitativamente si existe una biyección estrictamente creciente entre el conjunto $\{q_n | n \in \mathbb{N}\}$ y el conjunto $\{\tilde{q}_n | n \in \mathbb{N}\}$.

Un Paradoxo de Zenón Generalizado Cualitativo (PZGQ) es una clase de equivalencia cualitativa de Paradoxos de Zenón Generalizados.

Una cadena de bits infinita es una familia indexada por $\mathbb{N}$ de $0$s y $1$s.

Hipótesis del Continuo: Existe un conjunto de emparejamientos de un PZGQ con una cadena de bits infinita en el que

• cada posible cadena de bits infinita tiene al menos uno PZGQ emparejado con ella, y
• cada PZGQ está emparejado con a lo sumo uno cadena de bits infinita.

¿Hay otras formulaciones equivalentes que se sientan como máximo tan "abstractas" como (o tal vez, incluso menos "abstractas" que) esta?

Answer 1

La hipótesis del continuo es equivalente a la afirmación de que para cualquier conjunto $X\subseteq\mathbb R$ ya sea Blanco o Negro tiene una estrategia ganadora en el siguiente juego infinitamente largo $G(X)$.

En el movimiento $n^\text{th}$, primero Blanco elige un conjunto $W_n\subseteq X$, y luego Negro elige un conjunto $B_n\in\{W_n,X\setminus W_n\}$. Blanco gana si $\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n\ne\varnothing$; Negro gana si $\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n=\varnothing$.

El juego $G(X)$ es una victoria para Blanco si $|X|=2^{\aleph_0}$, una victoria para Negro si $|X|\le\aleph_0$, indeterminado si $\aleph_0\lt|X|\lt2^{\aleph_0}$.

No conozco la referencia pero creo que esto es debido a Mycielski y Solovay.

Answer 2

Esta es una variante del hotel de Hilbert que se me ocurrió y que estoy incluyendo en un libro de filosofía de las matemáticas que estoy escribiendo actualmente.

En el árbol binario infinito mostrado, imagina que es un hotel y llegan infinitos huéspedes. El hotel puede alojar hasta $|\mathbb{R}|$ huéspedes. Los $\aleph_0$ puntos de ramificación del árbol son habitaciones baratas, mientras que las "hojas" (es decir, las puntas de las ramas) del árbol, de $|\mathbb{R}|$ muchas, son propiedades costosas frente al agua. CH es verdadero si y solo si, para cada grupo infinito dado de a lo sumo $|\mathbb{R}|$ huéspedes, el gerente del hotel puede asignar a todos los huéspedes para ocupar cada propiedad barata en el punto de ramificación, o asignar a todos los huéspedes para ocupar todas las propiedades costosas frente al agua (punta de la rama). CH es falso si y solo si hay un grupo de huéspedes que es demasiado grande para ser alojado por las propiedades baratas y demasiado pequeño para ocupar todas las propiedades costosas.

Además: Observa que, a diferencia de muchos otros equivalentes conocidos de CH, este es bastante fácil y directo de probar como equivalente a CH, es decir, es casi una paráfrasis directa, una vez que uno se da cuenta de que hay $|\mathbb{R}|$ "hojas" en el árbol, o, de manera equivalente, que hay $|\mathbb{R}|$ caminos máximos a través del árbol binario infinito (que están en correspondencia natural uno a uno con el conjunto potencia del conjunto de todos los enteros positivos). Solo porque una afirmación fácilmente comprendida es equivalente a CH no significa en absoluto que sea obviamente equivalente a CH. Se podría argumentar que si realmente se quiere entender CH a través de uno de sus equivalentes, entonces también se debe entender por qué el equivalente dado es de hecho equivalente. (Te remito al chiste hilarante sobre el Axioma de Elección, el Principio de Bien-Ordenamiento y el Lema de Zorn). Por eso me gusta especialmente esta reformulación.

Answer 3

Mi equivalencia favorita es que CH falla si y solo si cada vez que coloreamos $\mathbb{R}$ con infinitos colores, podemos encontrar monocrómicos (y distintos) $x$, $y$, $u$, y $v$ tal que $x+y = u+v$. No estoy seguro de quién se lleva el crédito por esta, pero está incluida en el libro Problemas y Teoremas en la Teoría Clásica de Conjuntos de Komjath y Totik.

Answer 4

La dimensión global del anillo $\prod_{n = 1}^\infty \mathbb{F}_2$ es $k+1$ si y solo si $2^{\aleph_0} = \aleph_k$. Nótese que el anillo dado, de otra manera, es el conjunto potencia del conjunto $\mathbb{Z}_{>0}$ de todos los enteros positivos bajo las operaciones de anillo $\oplus$ y $\cap$, el cual tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$. Esta es una gran equivalencia, ya que también proporciona dos interpretaciones anillales simultáneas de la cardinalidad $2^{\aleph_0}$, tanto si la Hipótesis del Continuo es verdadera o no.

https://www.ams.org/journals/tran/1968-132-01/S0002-9947-1968-0224606-4/S0002-9947-1968-0224606-4.pdf

¿Qué demonios hace la Hipótesis del Continuo en el Álgebra Homológica de Weibel?

Answer 5

Esta es probablemente una perspectiva algo peculiar, pero para mí personalmente la formulación más concreta de la hipótesis de los continuos es:

Existe una cadena cofinal en los grados de Turing.