¿Cuál es la formulación más "concreta" equivalente de la Hipótesis del Continuo que puedes pensar?

Question

Hay muchas formulaciones equivalentes de la Hipótesis del Continuo, pero creo que la más estándar es que

no hay cardinalidad infinita que esté estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de los números reales.

Pero, al intentar explicar la Hipótesis del Continuo en un contexto de matemáticas populares, puedo imaginar a la gente pensando, "Bueno, toda esta 'búsqueda de diferentes tamaños de infinito en términos de mapeos uno a uno' suena realmente genial, pero en última instancia se reduce a los matemáticos participando en juegos de lógica abstractos". Y, según entiendo, una pregunta importante en la filosofía de las matemáticas es si esas personas tendrían razón en realidad. Sin embargo, aún podríamos al menos preguntar: ¿cuál es la declaración equivalente a la Hipótesis del Continuo que se siente menos como 'juegos abstractos de palabras' y más concreta?

Aquí está mi mejor intento:

(Considero que $\mathbb{N}$ no incluye el $0$.)

Recordemos el paradoxo de Zenón: la secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida recursivamente por $a_1=0$ y $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+1)$ es una secuencia infinita estrictamente creciente, y aún así tiene un límite superior finito.

Un Paradoxo de Zenón Generalizado es una partición de $[0,1)$ de la forma $$\Big\{ [ q_n , q_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\}$$ para alguna secuencia de números racionales $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Diremos que dos Paradoxos de Zenón Generalizados $$\Big\{ [ q_n , q_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\} \quad \text{y} \quad \Big\{ [ \tilde{q}_n , \tilde{q}_n+2^{-n} ) \ \Big| \ n \in \mathbb{N} \Big\}$$ son equivalentes cualitativamente si existe una biyección estrictamente creciente entre el conjunto $\{q_n | n \in \mathbb{N}\}$ y el conjunto $\{\tilde{q}_n | n \in \mathbb{N}\}$.

Un Paradoxo de Zenón Generalizado Cualitativo (PZGQ) es una clase de equivalencia cualitativa de Paradoxos de Zenón Generalizados.

Una cadena de bits infinita es una familia indexada por $\mathbb{N}$ de $0$s y $1$s.

Hipótesis del Continuo: Existe un conjunto de emparejamientos de un PZGQ con una cadena de bits infinita en el que

• cada posible cadena de bits infinita tiene al menos uno PZGQ emparejado con ella, y
• cada PZGQ está emparejado con a lo sumo uno cadena de bits infinita.

¿Hay otras formulaciones equivalentes que se sientan como máximo tan "abstractas" como (o tal vez, incluso menos "abstractas" que) esta?

Answer 1

Dado que podemos forzar $CH$ y $\neg CH$ entre modelos transitivos de ZFC, sabemos que $CH$ no puede ser equivalente a una afirmación que es absoluta entre modelos transitivos, incluyendo afirmaciones aritméticas que creo que la mayoría de la gente consideraría las más concretas. Esto ya implica que cualquier respuesta a esta pregunta tiene que ser algo abstracta. Por esta razón, no creo que podamos proporcionar una respuesta que convenza a una persona promedio de que no estamos tratando con juegos de lógica abstractos.

Dicho esto, creo que podemos convencer al matemático promedio de que $CH$ es relevante para su campo proporcionando afirmaciones concretas que no parecen estar relacionadas con la lógica. Aquí tienes un ejemplo con sabor algebraico: La dimensión proyectiva de $\mathbb{R}(x,y,z)$ como módulo sobre $\mathbb{R}[x,y,z]$ es igual a $2$ si se cumple $CH$ y no es igual a $2$ (de hecho, es igual a $3$) si se cumple $\neg CH$.

Si permites que una persona promedio entienda lo que significa colorear cada punto en $\mathbb{R}^2$ usando infinitos colores, aquí tienes una afirmación concreta de sabor combinatorio equivalente a $CH$:

El plano $\mathbb{R}^2$ se puede colorear con infinitos colores de tal manera que ningún triángulo rectángulo sea monocromático, es decir, que sus vértices sean del mismo color.

Esto se prueba en

P. Erdos, P. Komjáth; Descomposiciones contables de R² y R³, Discrete Comput. Geom. 5 (1990), núm. 4, 325–331

con correcciones recientes en

B. Bursics, P. Komjáth; Una Coloración del Plano Sin Triángulos Rectángulos Monocromáticos, Studia Sci. Math. Hungar. 60 (2023), núm. 1, 91–95.

Answer 2

Aquí hay algunas de mis caracterizaciones favoritas de la hipótesis del continuo:

• Sierpinski (1951) demostró que CH es equivalente a la afirmación de que hay una partición del plano en dos conjuntos $\mathbb{R}^2=S_1\sqcup S_2$ tal que cada línea horizontal corta a $S_1$ solo contablemente y cada línea vertical corta a $S_2$ solo contablemente. (La dirección es fácil de ver tomando $S_1$ como el gráfico de un buen orden en el tipo de orden $\omega_1$.)
• Más impresionantemente, y más concretamente desde la perspectiva de tu pregunta, CH es equivalente a la existencia de una partición del espacio $\mathbb{R}^3=S_1\sqcup S_2\sqcup S_3$ tal que cada línea paralela al eje $i$ corta a $S_i$ solo finitamente. (Ver generalizaciones adicionales en Erdos, Paul; Jackson, Steve; Mauldin, R. Daniel, Sobre particiones de líneas y espacio, Fundam. Math. 145, No. 2, 101-119 (1994). ZBL0809.04004.)
• CH es equivalente a la negación de la afirmación de que cada función $x\mapsto A_x$ de los reales a conjuntos contables de reales debe admitir algún par de reales distintos $x,y$ con $x\notin A_y$ y $y\notin A_x$. Esto es el axioma de simetría de Freiling. Freiling, Chris, Axiomas de simetría: Tirando dardos en la recta real de números, J. Symb. Log. 51, 190-200 (1986). ZBL0619.03035.

Y déjame agregar otro nuevo favorito mío:

• En un trabajo reciente mío y de Ben De Bondt, hemos demostrado que CH es equivalente a la afirmación de que el tamaño del diccionario más pequeño $\Delta\subset\omega^\omega$ para el cual el descifrador no tiene una estrategia ganadora para ganar Wordle infinito usando el diccionario $\Delta$ es el mismo que el tamaño del diccionario más pequeño $\Delta$ para el cual el absurdo tiene una estrategia ganadora en Absurdle infinito.

Answer 3

Teorema (Erds [1964]). La siguiente afirmación es equivalente a $\mathsf{CH}$: Existe una familia no numerable $$ de funciones analíticas enteras tal que para cada $z$, el conjunto de valores $\{ f(z) \mid f \}$ es numerable.

Answer 4

Una nube alrededor de $x$ en $\Bbb R^2$ es un conjunto $C$ tal que para todas las rectas $\ell$ que pasan por $x$, $C\cap\ell$ es finito. Una nube es una nube alrededor de algún punto.

Teorema: (Komjáth, Schmerl) la hipótesis del continuo se cumple si y solo si tres nubes cubren el plano.

Más generalmente, Komjáth demostró que para cada finito $n$, $\mathfrak c\leq\aleph_n$ implica que $\Bbb R^2$ está cubierto por $n+2$ nubes, mientras que Schmerl demostró la conversa en este artículo.

Answer 5

Morayne mostró lo siguiente en este documento:

Teorema. La hipótesis del continuo es equivalente a la existencia de una sobreyección $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}$, al menos una de las funciones coordenadas de $F$ es diferenciable en $x$.

Una cosa a tener en cuenta es que $F$ es por supuesto muy discontinuo. Además, Morayne demostró que tal función no puede tener ninguna de sus funciones coordenadas ser medible.

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En cierto sentido, en realidad no encuentro esta caracterización tan concreta, pero creo que la intuición proviene de estar expuesto a mucha teoría de conjuntos. La colección de funciones arbitrarias de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ es en realidad bastante salvaje y además, la diferenciabilidad puntual es una condición bastante sutil, a pesar de la temprana exposición que tienen las personas a ella en matemáticas.

En cualquier caso, encuentro la caracterización lo suficientemente divertida como para no poder resistirme a compartirla.