Índice de $G^n$ en $G$, un grupo nilpotente de $s$ pasos de rango $\leq r$

Question

Para un grupo $G$ y $n \in \mathbb N$, sea $G^n = \langle g^n \mid g \in G \rangle$

Se me pide demostrar que si $G$ es nilpotente de $s$-pasos y de rango a lo más $r$, entonces $[G:G^n] \leq n^{O_{r,s}(1)}$

Creo que la forma correcta de abordar esto es encontrar un subconjunto $X \subset G$ que definitivamente contenga un conjunto completo de representantes de cosets de $G^n$ en $G$, tal que $|X| \leq n^{ O_{r,s}(1)}$.

Además, dado que lo que queremos demostrar es una potencia de $n$, asumo que necesitamos considerar $O_{r,s}(1)$ cosas, cada una con $n$ posibilidades, en cierto sentido.

Sin embargo, no estoy completamente seguro de qué deberían ser esas $O_{r,s}(1)$ cosas.

También he considerado que tal vez esta pregunta debería abordarse de una manera más inductiva, ya que $G^n \leq G^m, \; \forall m \mid n$,

Entonces, si podemos mostrar el resultado para potencias primas, $p$, entonces estaríamos mejor ya que si $K \leq H \leq G$, entonces:

$$[G:K] = [G:H][H:K]$$

Así: $[G:G^{pq}] = [G:G^p][G^p : G^{pq}]$

Si podemos entonces mostrar que $(G^p)^q = G^{pq}$, entonces creo que habríamos terminado.

Sin embargo, no puedo parecer mostrar el resultado para primos, ni puedo mostrar que $G^{pq} = (G^p)^q$.

Quería preguntar si alguno de estos enfoques es realmente correcto, y si es así, cómo podría realmente proceder a demostrarlo. Cualquier ayuda que pueda ofrecer sería muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Sea $G$ cualquier grupo, y sea $G = \gamma_1(G) \ge \gamma_2(G) \ge \cdots$ la serie central inferior de $G$, donde $\gamma_{i+1}(G) := [G,\gamma_i(G)]$ para $i \ge 1$.

Sea $G = \langle x_1,x_2,\ldots,x_r \rangle$. Se puede demostrar usando las leyes de conmutación que, para $w,x \in G$ y $y,z \in \gamma_{i}(G)$ para algún $i \ge 1$, tenemos $[wx,y] = [w,y][x,y] \bmod \gamma_{i+1}(G)$ y $[w,yz] = [w,y][w,z] \bmod \gamma_{i+1}(G)$.

Se sigue que, si $\gamma_i(G)/\gamma_{i+1}(G)$ está generado por las imágenes en $\gamma_i(G)$ de los elementos $y_{i1},y_{i2},\ldots,y_{ik_i}$ de $\gamma_i(G)$, entonces $\gamma_{i+1}(G)/\gamma_{i+2}(G)$ está generado por las imágenes de los elementos $rk_i$ elementos $[x_j,y_{il}]$ ($1 \le j \le r$, $1 \le l \le k_i$) de $\gamma_{i+1}(G)$.

Así que podemos tomar $k_i=r^i$ para todo $i$. (De hecho podríamos tomar $k_2 = r(r-1)/2$.)

Además, dado que los grupos $\gamma_i(G)/\gamma_{i+1}(G)$ son todos abelianos, cada elemento de $G/\gamma_{i+1}(G)$ se puede escribir módulo $\gamma_{i+1}(G)$ como un producto de potencias enteras de los $r+r^2+r^3+ \cdots +r^i$ elementos $x_1,x_2,\ldots,x_r,y_{21},\ldots,y_{2k_2},\ldots, y_{i1},\ldots,y_{ik_i}$ de $G$.

Todo eso es cierto para cualquier grupo $G$, pero si $G$ es nilpotente de clase $s$, entonces $\gamma_{s+1}(G)=1$, por lo tanto, cada elemento de $G$ se puede escribir como un producto de potencias de una lista de $f(r,s) := r+r^2+\cdots+r^s$ elementos.

Luego, cada elemento se puede escribir módulo $G^n$ como un producto de tales potencias con exponentes en el rango $0 \ldots n-1$, y por lo tanto $[G:G^n] \le n^{f(r,s)}$.