La finalización del espacio de grupos finitos

Question

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Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las clases de equivalencia de grupos finitos bajo la relación de equivalencia "Isomorfismo". Definimos una pseudo métrica $d$ en $\mathcal{F}$ de la siguiente manera:

$$d(G,H)= \inf \{Hd(\tilde {G}_{n},\tilde{H}_{n})\} $$

donde $\inf$ se toma sobre todas las copias isomorfas arbitrarias $\tilde{G}_{n}$ y $\tilde{H}_{n}$ de $G$ y $H$ en $GL(n,\mathbb{R})$, respectivamente, mientras que $Hd$ es la distancia Hausdorff en $GL(n,\mathbb{R})$ inducida por su métrica invariante estándar izquierda.

La definición de esta métrica está motivada por la métrica de Gromov-Hausdorff en el espacio de variedades Riemannianas compactas.

¿Es $d$ una métrica en $\mathcal{F}$? Si la respuesta es sí, denotamos por $\bar{\mathcal{F}}$ la completitud de $\mathcal{F}$. ¿Qué se puede decir sobre un objeto $Z$ en $\bar{\mathcal{F}}$?

¿Se puede considerar el círculo unitario, en algún sentido razonable, como un objeto en esta completitud? ¿Hay una estructura de grupo natural en cada elemento $Z\in \bar{\mathcal{F}}$? ¿Existe una topología natural en $Z$?

¿Es $\bar{\mathcal{F}}$ un espacio compacto?

Answer 1

Creo que no es una métrica. Tome un primo grande $p$. Al incrustar $\mathbb Z/p\mathbb Z$ y $\mathbb Z/(p^2+p)\mathbb Z$ en el círculo $S^1 \subseteq GL(2,\mathbb R)$, se ve que la distancia entre ellos es a lo sumo $O(1/p)$. Al incrustar $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/p \mathbb Z$ y $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/(p+1)\mathbb Z$ en el toro $S^1 \times S^1 \subseteq GL(4,\mathbb R)$, se ve nuevamente que la distancia entre ellos es a lo sumo $O(1/p).

Pero por supuesto $\mathbb Z/(p^2+p)$ y $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/(p+1)\mathbb Z$ son isomorfos, por lo que uno se vería obligado a concluir por la desigualdad del triángulo que la distancia entre $\mathbb Z/p\mathbb Z$ y $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$ es $O(1/p).

Pero esto es falso. Si tuvieran esa distancia en algún $GL(n,\mathbb R)$, entonces, por principio de casilleros, $p$ diferentes elementos de $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$ tendrían que estar a una distancia de $O(1/p)$ de algún elemento de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ y, por lo tanto, a una distancia de $O(1/p)$ entre sí. Por invarianza izquierda, $p$ diferentes elementos de $\mathbb Z/p \mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$ tendrían que estar a una distancia de $O(1)$ de la identidad.

Pero en cualquier representación de $\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$, solo $o(p)$ elementos tienen eigenvalores a una distancia de $o(1/\sqrt{p})$ de la identidad, ya que podemos escribir la representación como una suma de caracteres, los eigenvalores en cada carácter deben ser raíces primitivas $p$-ésimas, y cada elemento está determinado por sus eigenvalores en dos caracteres independientes.

Entonces solo necesitamos verificar que cada elemento dentro de $O(1/p)$ de la identidad tiene eigenvalores a una distancia de $o(1/\sqrt{p}) de la identidad.

De hecho, podemos demostrar que esto es más cierto, y un elemento dentro de $d$ de la matriz de identidad no puede mover ningún vector de longitud uno a una distancia mayor que $e^{d}-1. Dado que $e^{O(1/p)}-1 = O(1/p) = o(1/\sqrt{p})$, obtenemos la conclusión deseada. Para verificar esto, diferencie $Mv$ con respecto a $M$ y observe que su norma de operador con respecto a su métrica es la norma de operador de $M$, entonces si $f(x)$ es la máxima distancia total movida por un vector de longitud uno por una matriz dentro de $x$ de la identidad, $df/dx \leq 1+f$ por lo que $f(x) \leq e^x-1.