En la categoría de anillos, ¿cuál es un ejemplo de un epimorfismo que no es una retracción?

Question

Me parece que si tienes un epimorfismo $f:R\to S$, entonces $f$ es sobreyectivo.

Quiero demostrar que no existe un $g:S\to R$ tal que $f \circ g = 1_S$. ¿Pero no podríamos definir $g$ como una función constante que envíe cada elemento en $S$ al elemento $r$ en $R$ tal que $f(r) = 1_S, encontrando así el homomorfismo que necesitamos y demostrando que $f$ es realmente una retracción?

Answer 1

Para empezar, no siempre ocurre que un epimorfismo sea sobreyectivo, al menos en $\mathbf{Ring}$.

Un contraejemplo lo da la inclusión canónica de $i \colon \mathbb Z \to \mathbb Q$. Este mapeo es un epimorfismo porque para cada par $f,g \colon \mathbb Q \to L$ si $f \circ i = g \circ i$ entonces por la propiedad universal de $i$ (o si prefieres, ya que $\mathbb Q$ es el cuerpo de fracciones de $\mathbb Z$) se sigue que $f=g$, pero $i$ no es un mapeo sobreyectivo.

Answer 2

(Todos mis anillos son unarios, y todos mis homomorfismos de anillos preservan $1$.)

Como explica Giorgio, no todos los epimorfismos en $\mathbf{Ring}$ son homomorfismos sobreyectivos. Además, también sucede que no todo homomorfismo sobreyectivo de anillos es una resección.

Para ver esto, usa:

Proposición. Sea $n$ un número natural distinto de cero. Entonces no existe un homomorfismo de anillos $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}.$$

Trivialmente, esto implica que la proyección $$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ no tiene una sección $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}.$$

En otras palabras, la proyección $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ no es una resección.

Prueba de la proposición. Supongamos, por contradicción, que $f : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ es un homomorfismo de anillos. Entonces $\mathrm{img}(f)$ es un subanillo de $\mathbb{Z}$. Pero dado que $n$ no es cero, el dominio de $f$ es finito. Por lo tanto, $\mathrm{img}(f)$ es finito. Por lo tanto, deducimos que existe un subanillo de $\mathbb{Z}$ que es finito. Pero dado que $\mathbb{Z}$ es infinito, deducimos en particular que existe un subanillo de $\mathbb{Z}$ que es distinto de $\mathbb{Z}$.

Pero esto contradice el hecho de que el único subanillo de $\mathbb{Z}$ es $\mathbb{Z}$ mismo.

Answer 3

Más generalmente, para cualquier conjunto multiplicativo en un anillo $R$, el morfismo canónico $R\longrightarrow S^{-1}R$ es un epimorfismo (plano).

Se sabe que si $f\colon R\longrightarrow S $ es un epimorfismo _fini_to, entonces $f$ es sobreyectivo.

También:

• un epimorfismo plano y local entre anillos locales es sobreyectivo.
• si $R$ es artiniano, un epimorfismo $f\colon R\longrightarrow S $ es sobreyectivo

Un ejemplo de un epimorfismo que es útil para muchas contraejemplos es el mapa canónico: $$R\longrightarrow R_s\times R/sR\quad (s\in R)$$ donde $R_s$ denota el anillo de fracciones con denominador algún $s^k$.

Si puedes leer francés (matemático), hubo un seminario muy interesante de Pierre Samuel durante el año académico 1967-1968 centrado en epimorfismos de anillos disponible aquí.