Valor esperado de una distribución similar a la hipergeométrica

Question

Buenas noches,

He estado tratando de averiguar cómo calcular el valor esperado de una variable aleatoria que es muy similar a la distribución hipergeométrica. El problema dice lo siguiente:

Una población de animales ha tenido a varios de sus miembros capturados, marcados y liberados. Sea X el número de animales que es necesario recapturar (sin volver a liberar) para obtener animales marcados. Determine E(X).

Esto parece similar a la distribución hipergeométrica, donde se fijaría n y se variaría m para describir el evento de que en n animales capturados, m tenían la característica de estar marcados.

Creo que la función de masa de probabilidad para esta distribución es la misma que para la distribución hipergeométrica, excepto que está parametrizada por n en lugar de m. Se da por:

$P_X(n) = \frac{\textrm{(maneras de seleccionar m animales de los marcados)}*\textrm{(maneras de seleccionar n-m animales restantes de los no marcados)}}{\textrm{maneras de seleccionar n animales de b animales totales}}$ $P_X(n) = \frac{{a \choose m}{{b-a} \choose {n-m}}}{b \choose n}$

Dado que la función de masa de probabilidad solo tiene sentido en el intervalo m $\leq$ n $\leq$ b, a partir de la definición de expectativa: $E(X) = \sum_{n=m}^{b} n*\frac{{a \choose m}{{b-a} \choose {n-m}}}{b \choose n}$

Realmente no sé qué hacer a partir de aquí. Sé que se pueden hacer argumentos para utilizar la linealidad de las expectativas para obtener la expectativa de la distribución hipergeométrica. Sin embargo, utilizan el hecho de que el parámetro n está fijo.

¿Alguien tiene alguna pista sobre qué proceso seguir para resolver esto, así como el nombre de dicha distribución?

EDITAR: Creo que el nombre de esta distribución es la distribución hipergeométrica negativa

Answer 1

Te equivocaste en la distribución. Escribiste la probabilidad de que exactamente $m$ de $n$ animales elegidos al azar estén marcados. Pero lo que quieres es la probabilidad de que necesites capturar $m$ animales, así que necesitas excluir el caso de que ya tenías $m$ animales antes de capturar el último. La probabilidad de capturar el $m$-ésimo animal marcado en la $n$-ésima captura es

$$ \frac{\binom a{m-1}\binom{b-a}{n-m}}{\binom b{n-1}}\cdot\frac{a-m+1}{b-n+1}\;, $$

donde el primer factor es la probabilidad de capturar exactamente $m-1$ animales marcados al capturar $n-1$ animales, y el segundo factor es la probabilidad de capturar un animal marcado en la $m$-ésima captura. Sin embargo, puedes utilizar

$$ \binom a{m-1}(a-m+1)=\binom{a-1}{m-1}a $$

para reescribir esto de manera que tenga la misma estructura esencial que tenías. En cualquier caso, el artículo que has encontrado entretanto parece contener todo lo necesario para encontrar el valor esperado.