Podría usted amablemente enumerar aquí todos los criterios que usted sabe que garantizan que un continuo local martingala es de hecho un verdadero martingala? Cual de estos son válidos para un local general de martingala (no necesariamente continua)? Posibles referencias a la lista de resultados se agradece.
Respuestas
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hal clendenin
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11
Me encontré a mí mismo por otros criterios que creo que vale la pena agregar a esta lista.
5) $M$ es una martingala local de clase DL iff $M$ es una martingala
6) Si $M$ es un almacén local de la martingala, entonces es una martingala.
7) Si $M$ es una martingala local y $E(\sup_{s \in [0,t]} |M_s|) < \infty \, \forall t \geq 0$, $M$ es una martingala.
8) Vamos a $M$ ser una martingala local y $(T_n)$ una reducción de la secuencia. Si $E(\sup_{n} |M_{t \wedge T_n}|) < \infty \, \forall t \geq 0$, $M$ es una martingala.
9) Supongamos que tenemos un proceso de $(M_t)_{t\geq 0}$ de la forma $M_t=f(t,W_t)$. A continuación, $M$ es una martingala local iff $(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2})f(t,x)=0$. Si además $\forall \, \varepsilon >0$ $\exists C(\varepsilon,t)$ tal que $|f(s,x)|\leq C e^{\epsilon x^2} \, \forall s \geq 0$, $M$ es una martingala.
c00p3r
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31
Aquí están :
De Protter del libro "Estocástico de Integración y Ecuaciones Diferenciales", Segunda Edición (página 73 y 74)
Primero : Deje $M$ ser una martingala local. A continuación, $M$ es una martingala con $E(M_t^2) < \infty, \forall t > 0$, si y sólo si $E([M,M]_t) < \infty, \forall t > 0$. Si $E([M,M]_t) < \infty$,$E(M_t^2) = E([M,M]_t)$.
Segundo :
Si $M$ es una martingala local y $E([M, M]_\infty) < \infty$, $M$ es un cuadrado integrable martingala (es decir,$sup_{t>0} E(M_t^2) = E(M_\infty^2) < \infty$). Por otra parte $E(M_t^2) = E([M, M]_t), \forall t \in [0,\infty]$.
Tercero :
De George Lowther Fantástico Blog, para Local positivo Martingales que son (diría yo) débil única solución de algunos SDEs.
Echa un vistazo por ti mismo : http://almostsure.wordpress.com/category/stochastic-processes/
Cuarto :
Para una positiva continua locales martingales $Y$ que puede escribirse como Doléans-Dade exponencial de un (continua)-local de martingala $M$ si $E(e^{\frac{1}{2}[M,M]_\infty})<\infty$ es cierto (que Novikov la condición de más de $M$), $Y$ es un uniformely integrable martingala.(Creo que hay algunas variantes en torno al mismo tema)
Creo que puedo recordar he leído un papel con otro criterio, pero no lo tengo conmigo ahora mismo. Me 'll tratar de encontrar y dar a este último criterio, cuando me lo encuentro.
Saludos
c00p3r
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31
Aquí está la otra respuesta que yo estaba; indicándolo así en mi anterior post :
Décima :
Dado $X_t$ continua de Itô difusión de partida en $x$ y tomando valores en $[l,\infty)$ con $l\in \mathbb{R}$. $X_t$ además, se supone que cumplir con los siguientes SDE :
$X_t=x+\int_{0}^{t}a(X_s)dB_s$
con :
- $B$ un Movimiento Browniano estándar
- $a(x)^2>0$ todos los $x\in (l,\infty)$
- $a^{-2}$ es localmente integrable
Esto implica que el $X$ tiene una débil y la solución única y que es una martingala local (con la absorción de límite de $l$).
A continuación, el Segundo orden de la ecuación $$\frac{1}{2}a^2(x)u''(x)=\alpha.u(x)$$ has two positve (linearly independent) unique solutions $\phi_{\alpha} $ and $\psi_{\alpha}$ up to a multiplicative constant ($\alpha$ es un fijo estrictamente constante positiva).
Esas soluciones son, respectivamente, disminuyendo y aumentando con condiciones de frontera de acuerdo con el límite de comportamiento de $X$.
Bajo estos supuestos, $X$ es una martingala si y onyl si : $$lim_{z\to +\infty}\psi_{\alpha}'(z)=+\infty$$
Esto es de Hulley y Palten "Visual de Un Criterio para la Identificación de Itô diffusions como Martingales o Locales Estrictas Maritngale".
NB : Los Criterios de George Lowther del blog se da también en el papel (con dos referencias) y las conexiones queden explícitamente descritas.
Undécima :
Otro de los criterios con diferentes herramientas y un conjunto de hypothesys (yo diría que es un poco más especial que el anterior criterio) se puede encontrar en el documento de Mijatovic y Urusov "En la Martingala de la Propiedad de Ciertos Locales de Martingala". Yo no reproducir aquí porque sería demasiado largo.
Saludos
