Encontrar el conjunto de puntos $(x, y)$ que tienen una distancia de $7$ desde la línea

Question

Tengo una línea $y=x$, y tengo que encontrar el conjunto de puntos $(x,y)$
que tienen una distancia de $7$ o menos de esta línea.

Entonces
$\sqrt{(x-a)^2 +(y-a)^2 }\leq 7$
$x^2 $$-2xa$ + $a^2 + $$y^2 $$-2ya + $$a^2\leq 7$
¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Elige un punto $A = (a, b)$ en el plano. Luego dibuja líneas paralelas al eje $x$ y al eje $y$. Estas líneas se intersectan en los puntos $B = (a, a), C = (b, b)$. Observa que el triángulo $ABC$ es rectángulo e isósceles, ya que $AB = AC = |b-a|$. Ahora dibuja una línea perpendicular a la recta $x=y$ desde $A$ y déjala intersectar la línea en $D$. La distancia de $A$ a la línea $x=y$ está dada por $AD$. Un poco de álgebra nos da que: $AD = \frac{|b-a|}{\sqrt{2}}$. Por lo tanto, $A$ está en el subconjunto deseado si $|b-a| \le 7\sqrt{2}$. Por lo tanto, el conjunto requerido es:

$$\{(x, y) \big| |x-y| \le 7\sqrt{2}\}$$

Geométricamente corresponde a la región delimitada por las líneas $y = x + 7\sqrt{2}$ y $y = x - 7\sqrt{2}$